Matrices

Matriz elemental . Matriz inversible
Matriz elemental Ejemplo
1 0 Matriz
𝐼2 =
Definición 0 1 identid
Sea 𝐸 ∈ ℝ𝑛×𝑛 .
(−2)
𝐸 es una matriz elemental si se 𝑒12
obtiene de la matriz 𝐼𝑛 (matriz
identidad de orden 𝑛) mediante 1 −2 Matriz
𝐸=
una sola operación elemental de 0 1 elemen
filas.
Prof. Ing. Civil Adolfo Vig

,Teorema
Sea 𝑒 una operación elemental de filas tal que 𝐸 = 𝑒(𝐼𝑚).
Entonces, ∀𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑛 : 𝑒(𝐴) = 𝐸𝐴.


Este teorema dice que es lo mismo aplicar una operación
elemental de filas, 𝑒, a una matriz 𝐴𝑚×𝑛 , que pre multiplicarl
la matriz elemental 𝐸 = 𝑒(𝐼𝑚), correspondiente a dicha oper
elemental.

,Ejemplo
1 −32 −2
Sea 𝐴 = matriz 2x3 ; 𝑒 = 𝑒12
2 −21
−2
𝑒12 Dado que A es 2x3, para hace
1 0 1 −2
𝐼2 = = 𝐸 producto EA, la matriz identi
0 1 0 1
debe ser 𝐼2 .
−2
1 2 −3 𝑒12 −3 0 1
𝐴= =𝑒 𝐴
2 1 −2 2 1 −2

1 2 −3
=A
2 1 −2 e 𝐴 = 𝐸𝐴
1 −2 −3 0 1
E= = 𝐸𝐴
0 1 2 1 −2

, Matriz elemental 𝐸:
Demostración 1 … 0 … 0
Primera parte: Fila i ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮
0 … 1 … 0 =
Sea e operación elemental de ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮
𝑘 0 … 0 … 1
filas de tipo I: 𝑒 = 𝑒𝑖 𝑘
𝑒𝑖
𝐴1
⋮ Matriz de m … 0 … 0
Sea 𝐴 = 𝐴𝑖 1
filas y n ⋱ ⋮ ⋱ ⋮
⋮ Fila i ⋮
columnas 0 … 𝑘 … 0 =
𝐴𝑚 ⋱ ⋮ ⋱ ⋮
⋮
𝐴𝑖 : fila i de la matriz A, 0 … 0 … 1
con i=1,2,….,m.