Derivadas

DERIVADA
Interpretación geométrica 𝑟
Sean 𝑓: 𝐷𝑓 ⟶ ℝ; 𝑥0 ∈ 𝐷𝑓 . 𝑄 𝑦
𝑟´: recta secante por 𝑃 y 𝑄. 𝑓 𝑥
𝑟: recta tangente por 𝑃. 𝑓 𝑥 −
Si 𝑃 ⟶ 𝑄 ⟹ 𝑟´ ⟶ 𝑟 𝑃
𝑓 𝑥0
Pendiente de 𝑟´: 𝑥 − 𝑥0
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0 )
𝑚´ = 𝑥0 𝑥
𝑥 − 𝑥0
Pendiente de 𝑟: 𝑓´ 𝑥0 es la derivada de 𝑓
𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎 ) Es la pendiente de la rect
𝑚 = 𝐥𝐢𝐦 = 𝒇´ 𝒙𝟎
𝒙⟶𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎 tangente a la curva de 𝑓 e
Prof. Ing. Civil Adolfo V

,Derivada de una función en un punto

Definición

Sea 𝑓 una función definida en un intervalo abierto 𝐽 y 𝑥0 ∈ 𝐽.
𝒇 𝒙 −𝒇
La derivada de 𝑓 en 𝑥0 es el número 𝒇´ 𝒙𝟎 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙⟶𝒙𝟎 𝒙−𝒙



Si el límite existe se dice que 𝑓 es derivable o diferenciable en

, Observaciones
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 )
1. 𝑓´ 𝑥0 = lim = lim
𝑥⟶𝑥0 𝑥 − 𝑥0 ℎ⟶0 ℎ
𝑓 𝑥0 + ℎ
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
𝑓 𝑥0
𝑥 − 𝑥0 = ℎ
𝑥0 𝑥 = 𝑥0 + ℎ
𝑑𝑦
2. Notación: Derivada de 𝑓 en 𝑥0 : 𝑓´ 𝑥0 = ቤ = 𝐷𝑓 𝑥0
𝑑𝑥 𝑥=𝑥
0
𝑑𝑦
Función derivada de 𝑓: 𝑓´ 𝑥 = = 𝐷𝑓 𝑥 = 𝑦
𝑑𝑥