C 02 5
características
módulo es su longitud serepresenta
por IAI
2 la dirección la dirección de la recta que lo contiene
3 el sentido el que va dei origenai extremo
vectorubre un vectorfijo v IB querepresenta todoslosvectoresquetienenel mismomódulo dirección ysentar
vectorposición de unpunto p es elvectorquenace en oroosos ytienesuextremoenei punto p
cnn.io deimódulo deunvector til l xa ya za
vectorunitario
vectorunitario tienemódulo uno Paramanar un vector unitario en ladirección deivector Tc y zi se dividenusas
coordenadasporel módulode I
ñ Io ejemplo Tls as NT VIS Ñ s Ifs v s
operaciones con vectores
suma yrectade vectores sesuman o serestansuscoordenadas
Productode unnúmeroporun vector se multiplica el númeropor las coordenasdeivector
Puntomediode unsegmento t z a
la semisuma de lascoordenas de los extremos
combinación anear devectores
a vector á es combinación lineal de los vectores ii i y si existen números reales y z tares que
yii zw.ci
Ejemplo I is 6 a comocombinaciónlinealde ñ Ci z as i ca i y cs z n xa r as yca i s zc s.zn.is2,
ay se s
III resolviendo sistemas se obtiene 3 y a z z
Productoescacar
Productoescolar elnúmero queseobtiene almultiplicar susmódulosporelcoseno delánguloque forman vi E iii iii cosa
expresiónanalítica elproducto escarardedos vectoreses la sumadei productode sus coordenadas
ñ J x xa y ya z z
a ei productoescarar deunvectorporsímismo es unnúmero rearpositivo o cero i E do
b conmutativa ñ T F E
c asociativa hiu.rs Chris J ñ cu
a distributiva ii iii ñ ii E vi ni
, ningunoentredos vectores ii F tuttii cosa cosa v.v cosa x xa y ya z za
mi ni
ixaty.az iii viiizar
ejemplo ángulo queforman los vectores Iii s.rs y Fin i si
cosa iu s i a s ii s x arcos ras os
ii sana ya ii son in in 42 ya p
Vectoresperpendiculares u ortogonales dos vectoresnonulossolo sonperpendiculares a su producto escalar escero
ii E hit iii cosaco Ñ J o s na v u i v e s u v o u o y v 0
y
productovectorial
Productovectorial dedosvectores linealmenteindependientes es un vector queserepresenta ñxi y vi va
i
módulo el producto de los módulos por ei ánguloqueforman úxE ii iv ser x ya
dirección perpendicular ai piano determinadopor losvectores ii y i iii
sentido avanza en elsentido deavance de un tornillo que rota de ir hacia i viii
expresiónanalítica el producto vectorial de dos vectores rica y zas Elmyrzas seobtiene desarrollando
el determinante por los adjuntos de la primera fila
úx E i j u y a z y n
i xa za J
n t
y z ya za ya
ya za
ejemplo productovectorial de ricas vas y icy a s uixv.is4 ha
a s
ai 7J ion
propiedades
a ñam ó paracualquiervector ñ
bi I es pararen a Javi i o
a anticonmutativa eI J Ex ñ iixva
asociativa uxv cl
hirixis Chrisxp ii ni
e distributiva ñ xcitws uxv.mx
Áreadelparalelogramo eiáreaau pararerogramo acariciopordos vectores es elmódulo an producto vectorial
Área delpararnogramo asco AI Ai
Áreadeltriángulo formadopor dos vectores AI aI
Ejemplo rica ss y ails o aI ai Ís.ioEs si isji.nu área t.msxaii vessaiisai.ir rana
Productomixto
productomixto ei númeroque seobtienearrancar elproducto escolardelprimervectorpor el productovectorialde los
otrosdos luixvxws u.mx s
y a
expresiónanalítica ei productomixto de 3 vectores vienedado por el determinante tú iii k ya 7 a
características
módulo es su longitud serepresenta
por IAI
2 la dirección la dirección de la recta que lo contiene
3 el sentido el que va dei origenai extremo
vectorubre un vectorfijo v IB querepresenta todoslosvectoresquetienenel mismomódulo dirección ysentar
vectorposición de unpunto p es elvectorquenace en oroosos ytienesuextremoenei punto p
cnn.io deimódulo deunvector til l xa ya za
vectorunitario
vectorunitario tienemódulo uno Paramanar un vector unitario en ladirección deivector Tc y zi se dividenusas
coordenadasporel módulode I
ñ Io ejemplo Tls as NT VIS Ñ s Ifs v s
operaciones con vectores
suma yrectade vectores sesuman o serestansuscoordenadas
Productode unnúmeroporun vector se multiplica el númeropor las coordenasdeivector
Puntomediode unsegmento t z a
la semisuma de lascoordenas de los extremos
combinación anear devectores
a vector á es combinación lineal de los vectores ii i y si existen números reales y z tares que
yii zw.ci
Ejemplo I is 6 a comocombinaciónlinealde ñ Ci z as i ca i y cs z n xa r as yca i s zc s.zn.is2,
ay se s
III resolviendo sistemas se obtiene 3 y a z z
Productoescacar
Productoescolar elnúmero queseobtiene almultiplicar susmódulosporelcoseno delánguloque forman vi E iii iii cosa
expresiónanalítica elproducto escarardedos vectoreses la sumadei productode sus coordenadas
ñ J x xa y ya z z
a ei productoescarar deunvectorporsímismo es unnúmero rearpositivo o cero i E do
b conmutativa ñ T F E
c asociativa hiu.rs Chris J ñ cu
a distributiva ii iii ñ ii E vi ni
, ningunoentredos vectores ii F tuttii cosa cosa v.v cosa x xa y ya z za
mi ni
ixaty.az iii viiizar
ejemplo ángulo queforman los vectores Iii s.rs y Fin i si
cosa iu s i a s ii s x arcos ras os
ii sana ya ii son in in 42 ya p
Vectoresperpendiculares u ortogonales dos vectoresnonulossolo sonperpendiculares a su producto escalar escero
ii E hit iii cosaco Ñ J o s na v u i v e s u v o u o y v 0
y
productovectorial
Productovectorial dedosvectores linealmenteindependientes es un vector queserepresenta ñxi y vi va
i
módulo el producto de los módulos por ei ánguloqueforman úxE ii iv ser x ya
dirección perpendicular ai piano determinadopor losvectores ii y i iii
sentido avanza en elsentido deavance de un tornillo que rota de ir hacia i viii
expresiónanalítica el producto vectorial de dos vectores rica y zas Elmyrzas seobtiene desarrollando
el determinante por los adjuntos de la primera fila
úx E i j u y a z y n
i xa za J
n t
y z ya za ya
ya za
ejemplo productovectorial de ricas vas y icy a s uixv.is4 ha
a s
ai 7J ion
propiedades
a ñam ó paracualquiervector ñ
bi I es pararen a Javi i o
a anticonmutativa eI J Ex ñ iixva
asociativa uxv cl
hirixis Chrisxp ii ni
e distributiva ñ xcitws uxv.mx
Áreadelparalelogramo eiáreaau pararerogramo acariciopordos vectores es elmódulo an producto vectorial
Área delpararnogramo asco AI Ai
Áreadeltriángulo formadopor dos vectores AI aI
Ejemplo rica ss y ails o aI ai Ís.ioEs si isji.nu área t.msxaii vessaiisai.ir rana
Productomixto
productomixto ei númeroque seobtienearrancar elproducto escolardelprimervectorpor el productovectorialde los
otrosdos luixvxws u.mx s
y a
expresiónanalítica ei productomixto de 3 vectores vienedado por el determinante tú iii k ya 7 a
