Notes de cours Calcul des probabilités

Chapitre 1

Rappels de PROBABILITES

1.1 Probabilités et évènements

Objectif
Au terme de ces deux séances de 4 heures chacune, l’Etudiant qui se sera appliqué sera capable de :
1. Définir un événement, une probabilité et d’énumérer les axiomes de base d’une tribu d’évènements;
2. d’appliquer l’axiomatique d’une tribu d’évènements et la définition d’une probabilité pour résoudre
les exercices d’application et certains exercices et problèmes d’approfondissement y relatifs;
3. de définir les concepts de probabilités conditionnelles et de reconnaitre le type des problèmes que ces
concepts modélisent;
4. de distinguer la Formule des probabilités totales de celle de Thomas Bayes;
(a) de reconnaitre les problèmes que modélisent les probabilités conditionnelles et de les représenter
par un arbre pondéré;
(b) de reconnaitre et de résoudre les exercices d’applications et certains problèmes
d’approfondissement relatifs aux formules de Probabilités totales et celle de Thomas Bayes.


1.1.1 Notions de base
Définition 1 :
Une expérience aléatoire est toute expérience dont il est impossible de prévoir avec exactitude le résultat mais
pour laquelle on connait l’ensemble Ω de tous les résultats possible.

Les exemples sont légion.
1. Le jet d’un dé cubique est une expérience aléatoire dont l’ensemble fondamental est Ω = {1, 2, 3, 4, 5,
6}.

2. Le jet d’une pièce de monnaie est une expérience aléatoire dont l’ensemble fondamental est Ω = {pile,
face}

, ©Roland Busane Calcul des probabilités Niveau bac1, bac2, bac3




3. Si l’expérience consiste deux jets successifs d’une pièce de monnaie on a l’ensemble fondamental : est
Ω = {(p, p), (p, f), (f, p), (f, f)}
4. Suivant la même logique, deux jets successifs d’un dé équilibré correspondent l’ensemble fondamental
:
Ω = {(1,1). (1,2), ···, (6,6)}
Pour cet ensemble fondamental, l’issue (i, j) correspond l’obtention du numéro i pour le premier jet et
du numéro j pour le second.
5. A l’expérience consistant mesurer le tems de fonctionnement d’un ordinateur avant que ne survienne la
première panne correspond l’ensemble fondamental Ω = [0, +∞ [
Certains faits liés toute expérience aléatoire peuvent ou ne pas se produire. On les appelle évènements.
Il est connu que pour toute expérience aléatoire la quelle est associé l’ensemble fondamental Ω, un
évènement est toujours un sous-ensemble de l’ensemble fondamental Ω.

Ainsi, par exemple,
1. L’évènement {f} correspond l’apparition de face après le jet d’une pièce de monnaie,

2. L’évènement E = {2, 4, 6} correspond l’apparition d’un numéro pair après le jet d’un dé,

3. L’évènement E = {(p, p), (p, f)} correspond l’apparition de pile pour le premier jet lors de l’expérience
consistant deux jets successifs d’un dé cubique.
4. L’évènement E = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2)} correspond, par exemple, l’obtention d’une somme
de 7 lorsque l’on additionne les numéros respectifs obtenus pour les deux jets d’un dé



Il est connu que pour une expérience aléatoire correspondant l’ensemble fondamental Ω, si E1 et E2
sont des évènements alors, la conjonction E1 ∩ E2 et la disjonction E1 ∪ E2 de ces évènements sont
¯
également des évènements, en outre, tout évènement A correspond l’évènement contraire A , avec,


Ω et ∅ sont des évènements spéciaux :
∅ est l’évènement impossible parce qu’il n’a aucune chance de se réaliser; Ω
est l’évènement certain car il se réalise toujours.
Si E1 ∩ E2 = ∅ alors les évènements E1 et E2 sont dits incompatibles.

Définition 2 :
Pour une expérience aléatoire correspondant l’ensemble fondamental Ω,