02/12/2020
Teorema de valor intermedio
Si f es una función continua en [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] y k es continua entre f(a) y f(b),
entonces existe un numero c en [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] para f(c)=k.
Ejemplo
Por lo menos una solución en los intervalos dados.
2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(2𝑥𝑥) − (𝑥𝑥 − 2)2 = 0 [2,3] 𝑦𝑦 [3,4]
Solución
𝑓𝑓(2) = −261457
𝑓𝑓(3) = 4.76102
Dado que 𝒇𝒇(𝟐𝟐) < 𝟎𝟎 y 𝒇𝒇(𝟑𝟑) > 𝟎𝟎 entonces existe un número 𝒄𝒄 ∈ (𝟐𝟐, 𝟑𝟑)
para que 𝒇𝒇(𝒄𝒄) = 𝟎𝟎.
, Teorema de Rolle
Suponga que f es continua en [a,b] t que f es derivable en [a,b] su
f(a)=f(b) entonces existe un número c en [a,b] tal que f´(c)=0.
Ejemplo 7b.
𝑓𝑓´(𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑒𝑒 0
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 1)𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝜋𝜋𝜋𝜋) [0,1]
Solución
𝑓𝑓 (0) = 0
𝑓𝑓(1) = 0
Dado que 𝒇𝒇(𝟎𝟎) = 𝒇𝒇(𝟏𝟏) entonces existe un número 𝒄𝒄 ∈ (𝟎𝟎, 𝟏𝟏) para que
𝒇𝒇´(𝒄𝒄) = 𝟎𝟎.
, Importante
Tiene que ver con la unicidad de soluciones es decir si las
ecuaciones tienen una solución.
Teorema
Satisface a la tabla de verdad p→q
𝑝𝑝: 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏).
𝑞𝑞: 𝑓𝑓´(𝑐𝑐 ) = 0.
Teorema de Rolle
Si f´(c ) ≠ 0 entonces f(a) ≠ f(b)
Aquellas funciones su derivada es cero tienen imágenes únicas,
unicidad de soluciones.
No hay dos números que tengan la misma imagen.
Ejemplo
Utilice el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para
mostrar que la gráfica cruce el eje x exactamente una vez.
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥 − 8
Solución
𝑓𝑓(1) = −5
𝑓𝑓(2) = 4
Dado que 𝒇𝒇(𝟏𝟏) < 𝟎𝟎 y 𝒇𝒇(𝟐𝟐) > 𝟎𝟎 entonces existe un número 𝒄𝒄 ∈ (𝟏𝟏, 𝟐𝟐) tal
que 𝒇𝒇(𝒄𝒄) = 𝟎𝟎.
, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥 − 8
Dado que 𝒇𝒇´(𝒙𝒙) ≠ 𝟎𝟎 entonces no hay dos números que tengan la
misma imagen si la imagen de un número es 0 esa imagen es única.
Ejemplo
Utilice el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para
mostrar que la gráfica cruce el eje x exactamente una vez.
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥 ) + 2𝑥𝑥 [−1, 2]
Solución
𝑓𝑓(−1) = −2.84147
𝑓𝑓(2) = 4.90930
De acuerdo con el teorema del valor intermedio existe un número 𝒄𝒄 ∈
(−𝟏𝟏, 𝟐𝟐) tal que 𝒇𝒇(𝒄𝒄) = 𝟎𝟎.
𝑓𝑓´(𝑥𝑥 ) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥) + 2
𝑓𝑓´(𝑥𝑥 ) = 0
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥 ) + 2 = 0
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥 ) = −2 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑛𝑛
Dado que 𝒇𝒇´(𝒙𝒙) ≠ 𝟎𝟎 entonces hay dos números que tengan la misma.
Teorema de valor intermedio
Si f es una función continua en [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] y k es continua entre f(a) y f(b),
entonces existe un numero c en [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] para f(c)=k.
Ejemplo
Por lo menos una solución en los intervalos dados.
2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(2𝑥𝑥) − (𝑥𝑥 − 2)2 = 0 [2,3] 𝑦𝑦 [3,4]
Solución
𝑓𝑓(2) = −261457
𝑓𝑓(3) = 4.76102
Dado que 𝒇𝒇(𝟐𝟐) < 𝟎𝟎 y 𝒇𝒇(𝟑𝟑) > 𝟎𝟎 entonces existe un número 𝒄𝒄 ∈ (𝟐𝟐, 𝟑𝟑)
para que 𝒇𝒇(𝒄𝒄) = 𝟎𝟎.
, Teorema de Rolle
Suponga que f es continua en [a,b] t que f es derivable en [a,b] su
f(a)=f(b) entonces existe un número c en [a,b] tal que f´(c)=0.
Ejemplo 7b.
𝑓𝑓´(𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑒𝑒 0
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 1)𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝜋𝜋𝜋𝜋) [0,1]
Solución
𝑓𝑓 (0) = 0
𝑓𝑓(1) = 0
Dado que 𝒇𝒇(𝟎𝟎) = 𝒇𝒇(𝟏𝟏) entonces existe un número 𝒄𝒄 ∈ (𝟎𝟎, 𝟏𝟏) para que
𝒇𝒇´(𝒄𝒄) = 𝟎𝟎.
, Importante
Tiene que ver con la unicidad de soluciones es decir si las
ecuaciones tienen una solución.
Teorema
Satisface a la tabla de verdad p→q
𝑝𝑝: 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏).
𝑞𝑞: 𝑓𝑓´(𝑐𝑐 ) = 0.
Teorema de Rolle
Si f´(c ) ≠ 0 entonces f(a) ≠ f(b)
Aquellas funciones su derivada es cero tienen imágenes únicas,
unicidad de soluciones.
No hay dos números que tengan la misma imagen.
Ejemplo
Utilice el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para
mostrar que la gráfica cruce el eje x exactamente una vez.
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥 − 8
Solución
𝑓𝑓(1) = −5
𝑓𝑓(2) = 4
Dado que 𝒇𝒇(𝟏𝟏) < 𝟎𝟎 y 𝒇𝒇(𝟐𝟐) > 𝟎𝟎 entonces existe un número 𝒄𝒄 ∈ (𝟏𝟏, 𝟐𝟐) tal
que 𝒇𝒇(𝒄𝒄) = 𝟎𝟎.
, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥 − 8
Dado que 𝒇𝒇´(𝒙𝒙) ≠ 𝟎𝟎 entonces no hay dos números que tengan la
misma imagen si la imagen de un número es 0 esa imagen es única.
Ejemplo
Utilice el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para
mostrar que la gráfica cruce el eje x exactamente una vez.
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥 ) + 2𝑥𝑥 [−1, 2]
Solución
𝑓𝑓(−1) = −2.84147
𝑓𝑓(2) = 4.90930
De acuerdo con el teorema del valor intermedio existe un número 𝒄𝒄 ∈
(−𝟏𝟏, 𝟐𝟐) tal que 𝒇𝒇(𝒄𝒄) = 𝟎𝟎.
𝑓𝑓´(𝑥𝑥 ) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥) + 2
𝑓𝑓´(𝑥𝑥 ) = 0
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥 ) + 2 = 0
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥 ) = −2 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑛𝑛
Dado que 𝒇𝒇´(𝒙𝒙) ≠ 𝟎𝟎 entonces hay dos números que tengan la misma.
