Summary Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Facultad de Ingeniería Ecuaciones Diferenciales




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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN


1.1 Definiciones. ...............................................................................................................................................................3

1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales. ...............................................................................................5

1.3 El problema del valor inicial. ..............................................................................................................................7

1.4 Teorema de existencia y unicidad. .................................................................................................................8

1.5 Variables separables y reducibles. .............................................................................................................. 10

1.6 Exactas, no exactas y factor integrante. ................................................................................................... 17

1.7 Ecuaciones lineales. ............................................................................................................................................ 22

1.8 Ecuación de Bernoulli. ....................................................................................................................................... 25

1.9 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden...................................................... 26




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1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

1.1 Definiciones.

Una ecuación que involucra derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes
con respecto a una o más variables independientes se le conoce como ecuación diferencial.
Se muestran algunos ejemplos.
2
d2y  dy  y ' ' '+5 y ' '+3 y '+2 = x
+ x y  = 0
dx 2  dx 
∂y ∂y ∂2 y ∂2 y ∂2 y
+ =y + + =0
∂s dt ∂u 2 ∂v 2 ∂w2


Las ecuaciones diferenciales se dividen en dos grandes grupos el primero de ellos conocido
como ecuaciones diferenciales ordinarias. Son ecuaciones diferenciales involucrando
derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable
independiente.
El segundo grupo es el de las ecuaciones diferenciales parciales que son aquellas que
involucran derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a más de
una variable independiente.
Las dos primeras ecuaciones anteriores son ordinarias y las últimas dos son parciales.
Las ecuaciones diferenciales también se clasifican por su orden que es la más alta derivada
involucrada en una ecuación diferencial y por su grado que es el grado de la derivada de
mayor orden que interviene en la ecuación diferencial. Por ejemplo, la primera de las
siguientes ecuaciones diferenciales es de cuarto orden y primer grado mientras que la
segunda es de primer orden y segundo grado.

d4y d3y dy ( y ' )2 + y = 4
4
+ x 2 3 + x3 + x4 y = x
dx dx dx


Una gran parte de este curso se dedicará a las ecuaciones diferenciales ordinarias, por ello
se define como ecuación diferencial lineal (edl) a las que se pueden describir mediante la
siguiente forma:

dny d n −1 y dy
an ( x) n
+ a n −1 ( x ) n −1 +  + a1 ( x ) + a 0 ( x ) y = b( x )
dx dx dx


Donde b(x) se le conoce como término independiente y el grado de todas las derivadas es 1.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias que no son lineales son conocidas como no lineales.
Las ecuaciones siguientes son ejemplos de edl porque se pueden representar en la forma
descrita.

xdy + ydx = 1 y ' '−2 y '+ y = e − x




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