,Facultad de Ingeniería Ecuaciones Diferenciales
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DE ORDEN SUPERIOR
2.1 Teorema de la existencia y unicidad de la solución. ...............................................................................3
2.2.- Soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea..............................................................5
2.3.- Dependencia e independencia lineal de las soluciones. ...................................................................8
2.4 Teorema de la reducción de orden. ............................................................................................................ 12
2.5 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. .................................................... 16
2.6 Ecuaciones de orden superior con coeficientes constantes. ......................................................... 20
2.7 Método de coeficientes indeterminados.................................................................................................. 22
2.8 Método de variación de parámetros. ........................................................................................................ 29
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2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR.
2.1 Teorema de la existencia y unicidad de la solución.
Se estableció en el capítulo anterior que la definición de una ecuación diferencial lineal de
orden n es:
dny d n−1 y dy
a0 ( x ) n
+ a1 ( x ) n −1
+ + an−1 ( x) + an ( x) y = b( x)
dx dx dx
Donde se asume que todas las a’s y b(x) son funciones continuas en el intervalo a ≤ x ≤ b y que
ao ( x) ≠ 0 .
Por ejemplo, las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales de segundo y tercer orden
respectivamente.
d2y dy
2
+ 3x + x3 y = e x
dx dx
d3y d2y dy
3
+ x 2
+ 3x 2 − 5 y = senx
dx dx dx
El teorema de la existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial de orden n
establece que si todas las a’s y b(x) son funciones continuas en el intervalo a ≤ x ≤ b y xo es un
punto del intervalo, entonces, y(x) es una solución única de la ecuación diferencial, que es
válida en todo el intervalo si existen n constantes arbitrarias co , c1 , cn−1 tales que:
y ( xo ) = co y ' ( xo ) = c1 y ( n −1) ( xo ) = cn −1
Debe notarse que el orden n de la ecuación diferencial determina el número de las constantes
arbitrarias co , c1 , cn−1 que describen a las llamadas condiciones iniciales de la ecuación
diferencial.
Ejemplo: Determine si el siguiente problema del valor inicial tiene una solución única.
d2y dy
2
+ 3x + x3 y = e x y (1) = 2 y ' (1) = −5
dx dx
Se nota que todas las a’s, es decir 1, 3x y x3 así como ex, de la ecuación diferencial, son
funciones continuas del intervalo: − ∞ < x < ∞ .
Dado que xo = 1 es un punto que se encuentra dentro del intervalo y existen dos condiciones
iniciales evaluadas en ese punto xo, es decir y (1) = 2 y y ' (1) = −5 , como así lo requiere el
teorema, entonces se puede afirmar que existe una solución única definida en el intervalo
−∞ < x < ∞.
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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DE ORDEN SUPERIOR
2.1 Teorema de la existencia y unicidad de la solución. ...............................................................................3
2.2.- Soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea..............................................................5
2.3.- Dependencia e independencia lineal de las soluciones. ...................................................................8
2.4 Teorema de la reducción de orden. ............................................................................................................ 12
2.5 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. .................................................... 16
2.6 Ecuaciones de orden superior con coeficientes constantes. ......................................................... 20
2.7 Método de coeficientes indeterminados.................................................................................................. 22
2.8 Método de variación de parámetros. ........................................................................................................ 29
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2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR.
2.1 Teorema de la existencia y unicidad de la solución.
Se estableció en el capítulo anterior que la definición de una ecuación diferencial lineal de
orden n es:
dny d n−1 y dy
a0 ( x ) n
+ a1 ( x ) n −1
+ + an−1 ( x) + an ( x) y = b( x)
dx dx dx
Donde se asume que todas las a’s y b(x) son funciones continuas en el intervalo a ≤ x ≤ b y que
ao ( x) ≠ 0 .
Por ejemplo, las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales de segundo y tercer orden
respectivamente.
d2y dy
2
+ 3x + x3 y = e x
dx dx
d3y d2y dy
3
+ x 2
+ 3x 2 − 5 y = senx
dx dx dx
El teorema de la existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial de orden n
establece que si todas las a’s y b(x) son funciones continuas en el intervalo a ≤ x ≤ b y xo es un
punto del intervalo, entonces, y(x) es una solución única de la ecuación diferencial, que es
válida en todo el intervalo si existen n constantes arbitrarias co , c1 , cn−1 tales que:
y ( xo ) = co y ' ( xo ) = c1 y ( n −1) ( xo ) = cn −1
Debe notarse que el orden n de la ecuación diferencial determina el número de las constantes
arbitrarias co , c1 , cn−1 que describen a las llamadas condiciones iniciales de la ecuación
diferencial.
Ejemplo: Determine si el siguiente problema del valor inicial tiene una solución única.
d2y dy
2
+ 3x + x3 y = e x y (1) = 2 y ' (1) = −5
dx dx
Se nota que todas las a’s, es decir 1, 3x y x3 así como ex, de la ecuación diferencial, son
funciones continuas del intervalo: − ∞ < x < ∞ .
Dado que xo = 1 es un punto que se encuentra dentro del intervalo y existen dos condiciones
iniciales evaluadas en ese punto xo, es decir y (1) = 2 y y ' (1) = −5 , como así lo requiere el
teorema, entonces se puede afirmar que existe una solución única definida en el intervalo
−∞ < x < ∞.
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