,Facultad de Ingeniería Ecuaciones Diferenciales
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
Y DE ORDEN SUPERIOR
2.1 Teorema de la existencia y unicidad de la solución. ...............................................................................3
2.2 Definiciones. .............................................................................................................................................................5
2.3 Reducción de orden (primer método de solución). ................................................................................ 11
2.4 Edlh con coeficientes constantes. ................................................................................................................ 14
2.5 Edlh de orden superior con coeficientes constantes........................................................................... 17
2.6 Edl no homogéneas Método de Coeficientes Indeterminados. ..................................................... 19
2.7 Método de variación de parámetros. ........................................................................................................ 25
2.8 Combinación de Métodos (Linealidad). .................................................................................................. 30
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2a. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
Y DE ORDEN SUPERIOR.
2.1 Teorema de la existencia y unicidad de la solución.
El teorema de la existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial lineal (edl)
de orden n establece que si todas las a’s y b(x) son funciones continuas en el intervalo a ≤ x ≤
b y xo es un punto del intervalo, entonces, y(x) es una solución única de la ecuación diferencial,
que es válida en todo el intervalo si existen n constantes arbitrarias c1, c2, …, cn tales que:
↓ (n-1) derivada
y ( xo ) = c1 y ' ( xo ) = c2 y ( n −1) ( xo ) = cn
Debe notarse que el orden n de la ecuación diferencial determina el número de las constantes
arbitrarias c0, c1, …, cn que describen a las llamadas condiciones iniciales de la edl.
Ejemplo: Determine si el siguiente problema del valor inicial tiene una solución única.
d2y dy
+ 3x + x3 y = e x y (1) = 2 y ' (1) = −5
dx 2 dx
Se nota que todas las a’s, es decir 1, 3x y x3 así como ex, de la ecuación diferencial, son
funciones continuas del intervalo: -∞ ≤ x ≤ ∞.
Dado que xo=1 es un punto que se encuentra dentro del intervalo y existen dos condiciones
iniciales evaluadas en ese punto xo, es decir y(1)=2 y y´(1)=-5, como así lo requiere el teorema,
entonces se puede afirmar que existe una solución única definida en el intervalo -∞ ≤ x ≤ ∞.
Ejemplo: Determine si el siguiente problema del valor inicial tiene una solución única.
d3y d2y dy
3
+ x 2 + 3x 2 − 5 y = senx
dx dx dx
y (4) = 3 y ' (4) = 5 y ' ' (4) = −
Igual que en el ejemplo anterior todas las a’s y senx de la ecuación diferencial son funciones
continuas en el intervalo-∞ ≤ x ≤ ∞.
Como xo=4 es un punto que se encuentra dentro del intervalo y existen tres condiciones
iniciales evaluadas en ese punto xo, es decir y(4)=3, y´(4)=5 y y´´(4)=-7/2, como así lo requiere
el teorema, entonces se puede afirmar que existe una solución única definida en el intervalo -
∞ ≤ x ≤ ∞.
Ejemplo: Determine si el siguiente problema del valor inicial tiene una solución única.
d2y dy
x2 − 2x + 2 y = 6 y (0) = 3 y ' (0) = 1
dx 2 dx
Igual que en los dos ejemplos anteriores en este caso también se tiene que las a’s y 6 son
funciones continuas en el intervalo -∞ ≤ x ≤ ∞. También xo=0 es un punto que se encuentra
dentro del intervalo y existen dos condiciones iniciales evaluadas en xo, es decir y(0)=3 y
y´(0)=1 como lo requiere el teorema.
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Sin embargo, la solución en este caso no es única ya que an(x)=x2 es igual a cero en xo=0 y uno
de los requisitos del teorema es que an(x)≠0.
De hecho, una familia de soluciones que pasan por el punto (0, 3) y tienen pendiente 1 en este
punto, está determinada por la siguiente ecuación.
y = cx 2 + x + 3 ∀c
La definición de la ecuación diferencial lineal homogénea (edlh) se tiene cuando el término
b(x)=0.
dny d n −1 y dy
a n ( x) + a n −1 ( x ) n −1 + + a1 ( x ) + a 0 ( x ) y = 0
dx n
dx dx
Si una edlh tiene la solución y(x) y las constantes arbitrarias c1, c2, …, cn son todas iguales a
cero, es decir:
y ( xo ) = 0 y ' ( xo ) = 0 y ( n −1) ( xo ) = 0
el teorema de la existencia y unicidad da origen a un corolario que establece que la única
solución de tal ecuación es la trivial, es decir:
y ( x) = 0 ∀ x
Ejemplo: Usando el corolario analice el siguiente problema del valor inicial.
d3y d2y dy
3
+ 2 2 + 4x + x2 y = 0
dx dx dx
y (0) = 0 y ' (0) = 0 y ' ' (0) = 0
Todas las a’s son funciones continuas en el intervalo -∞ ≤ x ≤ ∞. También xo=0 es un punto que
se encuentra dentro del intervalo y las condiciones iniciales son todas iguales a cero, por lo
tanto, por el corolario se afirma que la única solución es la trivial en todo el intervalo -∞ ≤ x ≤
∞, es decir la solución trivial es válida para toda x.
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2.1 Teorema de la existencia y unicidad de la solución. ...............................................................................3
2.2 Definiciones. .............................................................................................................................................................5
2.3 Reducción de orden (primer método de solución). ................................................................................ 11
2.4 Edlh con coeficientes constantes. ................................................................................................................ 14
2.5 Edlh de orden superior con coeficientes constantes........................................................................... 17
2.6 Edl no homogéneas Método de Coeficientes Indeterminados. ..................................................... 19
2.7 Método de variación de parámetros. ........................................................................................................ 25
2.8 Combinación de Métodos (Linealidad). .................................................................................................. 30
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Y DE ORDEN SUPERIOR.
2.1 Teorema de la existencia y unicidad de la solución.
El teorema de la existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial lineal (edl)
de orden n establece que si todas las a’s y b(x) son funciones continuas en el intervalo a ≤ x ≤
b y xo es un punto del intervalo, entonces, y(x) es una solución única de la ecuación diferencial,
que es válida en todo el intervalo si existen n constantes arbitrarias c1, c2, …, cn tales que:
↓ (n-1) derivada
y ( xo ) = c1 y ' ( xo ) = c2 y ( n −1) ( xo ) = cn
Debe notarse que el orden n de la ecuación diferencial determina el número de las constantes
arbitrarias c0, c1, …, cn que describen a las llamadas condiciones iniciales de la edl.
Ejemplo: Determine si el siguiente problema del valor inicial tiene una solución única.
d2y dy
+ 3x + x3 y = e x y (1) = 2 y ' (1) = −5
dx 2 dx
Se nota que todas las a’s, es decir 1, 3x y x3 así como ex, de la ecuación diferencial, son
funciones continuas del intervalo: -∞ ≤ x ≤ ∞.
Dado que xo=1 es un punto que se encuentra dentro del intervalo y existen dos condiciones
iniciales evaluadas en ese punto xo, es decir y(1)=2 y y´(1)=-5, como así lo requiere el teorema,
entonces se puede afirmar que existe una solución única definida en el intervalo -∞ ≤ x ≤ ∞.
Ejemplo: Determine si el siguiente problema del valor inicial tiene una solución única.
d3y d2y dy
3
+ x 2 + 3x 2 − 5 y = senx
dx dx dx
y (4) = 3 y ' (4) = 5 y ' ' (4) = −
Igual que en el ejemplo anterior todas las a’s y senx de la ecuación diferencial son funciones
continuas en el intervalo-∞ ≤ x ≤ ∞.
Como xo=4 es un punto que se encuentra dentro del intervalo y existen tres condiciones
iniciales evaluadas en ese punto xo, es decir y(4)=3, y´(4)=5 y y´´(4)=-7/2, como así lo requiere
el teorema, entonces se puede afirmar que existe una solución única definida en el intervalo -
∞ ≤ x ≤ ∞.
Ejemplo: Determine si el siguiente problema del valor inicial tiene una solución única.
d2y dy
x2 − 2x + 2 y = 6 y (0) = 3 y ' (0) = 1
dx 2 dx
Igual que en los dos ejemplos anteriores en este caso también se tiene que las a’s y 6 son
funciones continuas en el intervalo -∞ ≤ x ≤ ∞. También xo=0 es un punto que se encuentra
dentro del intervalo y existen dos condiciones iniciales evaluadas en xo, es decir y(0)=3 y
y´(0)=1 como lo requiere el teorema.
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Sin embargo, la solución en este caso no es única ya que an(x)=x2 es igual a cero en xo=0 y uno
de los requisitos del teorema es que an(x)≠0.
De hecho, una familia de soluciones que pasan por el punto (0, 3) y tienen pendiente 1 en este
punto, está determinada por la siguiente ecuación.
y = cx 2 + x + 3 ∀c
La definición de la ecuación diferencial lineal homogénea (edlh) se tiene cuando el término
b(x)=0.
dny d n −1 y dy
a n ( x) + a n −1 ( x ) n −1 + + a1 ( x ) + a 0 ( x ) y = 0
dx n
dx dx
Si una edlh tiene la solución y(x) y las constantes arbitrarias c1, c2, …, cn son todas iguales a
cero, es decir:
y ( xo ) = 0 y ' ( xo ) = 0 y ( n −1) ( xo ) = 0
el teorema de la existencia y unicidad da origen a un corolario que establece que la única
solución de tal ecuación es la trivial, es decir:
y ( x) = 0 ∀ x
Ejemplo: Usando el corolario analice el siguiente problema del valor inicial.
d3y d2y dy
3
+ 2 2 + 4x + x2 y = 0
dx dx dx
y (0) = 0 y ' (0) = 0 y ' ' (0) = 0
Todas las a’s son funciones continuas en el intervalo -∞ ≤ x ≤ ∞. También xo=0 es un punto que
se encuentra dentro del intervalo y las condiciones iniciales son todas iguales a cero, por lo
tanto, por el corolario se afirma que la única solución es la trivial en todo el intervalo -∞ ≤ x ≤
∞, es decir la solución trivial es válida para toda x.
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