,Facultad de Ingeniería Ecuaciones Diferenciales
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.1 Definición y cálculo de transformadas básicas. ........................................................................................3
3.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace...................................6
3.3 Transformada de Laplace de funciones definidas por partes. .........................................................7
3.4 Función escalón unitario. ...................................................................................................................................8
3.5 Propiedades de la Transformada de Laplace. .........................................................................................9
3.6 Transformada de Laplace de una función periódica. ......................................................................... 17
3.7 Función impulso o delta de Dirac. .............................................................................................................. 20
3.8 Transformadas inversas. ................................................................................................................................. 22
3.9 Solución de edl usando la transformada. ................................................................................................ 36
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3. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.
3.1 Definición y cálculo de transformadas básicas.
Cuando se desea obtener el resultado de la siguiente operación se le puede determinar
mediante las reglas de la aritmética.
(234)(125)
r= = 1950
15
Si ahora se desea obtener el resultado mediante los logaritmos de base 10 lo primero que hay
que hacer es realizar una transformación de los números a logaritmos, es decir encontrar los
exponentes x, y y z tal que:
234 = 10 x ∴ x = log 234 = 2.37
125 = 10 y ∴ y = log125 = 2.1
15 = 10 z ∴ z = log15 = 1.18
Luego se manipulan estos resultados siguiendo las reglas de los logaritmos, es decir:
2.37 + 2.1 − 1.18 = 3.29
Para terminar esta operación se realiza una transformación inversa (antilogaritmo) para
obtener el resultado r.
r = 103.29 = 1950
Este proceso podemos describirlo mediante dos esquemas de la siguiente forma.
Regla
(10x)
Números Logaritmos
Regla
(103.29)
Logaritmo Número
La transformada de Laplace es una operación que se realiza con las funciones porque a
semejanza de los logaritmos permite obtener la solución de problemas complejos de una
manera sistemática y en muchos de los casos resolverlos de una forma más simple.
La definición de la transformada de una función f(t) que se encuentra definida para t ≥ 0 es:
∞ b
{ f (t )} = F ( s) = ∫ f (t )e− st dt = blim
→∞ ∫
f (t )e − st dt
0 0
A esta operación se le conoce como la transformada de Laplace y se realiza siempre que el
límite exista.
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Con el uso de la integral de la transformada de Laplace (Regla), se considera a continuación
el proceso que permite ir del dominio de la variable t al dominio de la variable s, el cual se
describe mediante el siguiente esquema:
Regla
(Integral)
Funciones en t Funciones en s
Es común que las variables t y s describan al tiempo y la frecuencia respectivamente.
Ejemplo: Obtenga la transformada de Laplace de f(t)=1.
Por la definición se tiene:
∞ b − st b
−e
{ f (t )} = ∫ (1)e −st dt = lim
b→∞ ∫
e −st dt = lim
0 0
b→∞ s 0
− st b − sb
−e −e +1 1
{ f (t )} = blim = lim =
→∞ s 0
b →∞ s s
{1 } = 1
s
No se usará más la aplicación del límite de la definición y se sobreentenderá su aplicación en
los siguientes ejemplos.
Ejemplo: Obtenga la transformada de Laplace de f(t)=t.
Por la definición se tiene:
∞
{ f (t )} = F ( s) = ∫ (t )e− st dt =
0
Integrando por partes se obtiene:
− 1 − st
u = t ⇒ du = dt dv = e − st dt ⇒ v = e
s
∞ ∞
− 1 − st −1 −1 1
F (s) = te − ∫ e − st dt = 2 e − st = 2
s 0 s s 0 s
1
{t } = 2
s
Ejemplo: Obtenga la transformada de Laplace de f(t)=e-at.
Por la definición se tiene:
∞ ∞
{ f (t )} = F ( s) = ∫ (e− at )e− st dt = ∫ e− ( s + a )t dt =
0 0
∞
1 − ( s + a )t 1
F (s) = − e =
s+a 0 s + a
1
{e− at } = s + a
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LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.1 Definición y cálculo de transformadas básicas. ........................................................................................3
3.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace...................................6
3.3 Transformada de Laplace de funciones definidas por partes. .........................................................7
3.4 Función escalón unitario. ...................................................................................................................................8
3.5 Propiedades de la Transformada de Laplace. .........................................................................................9
3.6 Transformada de Laplace de una función periódica. ......................................................................... 17
3.7 Función impulso o delta de Dirac. .............................................................................................................. 20
3.8 Transformadas inversas. ................................................................................................................................. 22
3.9 Solución de edl usando la transformada. ................................................................................................ 36
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3. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.
3.1 Definición y cálculo de transformadas básicas.
Cuando se desea obtener el resultado de la siguiente operación se le puede determinar
mediante las reglas de la aritmética.
(234)(125)
r= = 1950
15
Si ahora se desea obtener el resultado mediante los logaritmos de base 10 lo primero que hay
que hacer es realizar una transformación de los números a logaritmos, es decir encontrar los
exponentes x, y y z tal que:
234 = 10 x ∴ x = log 234 = 2.37
125 = 10 y ∴ y = log125 = 2.1
15 = 10 z ∴ z = log15 = 1.18
Luego se manipulan estos resultados siguiendo las reglas de los logaritmos, es decir:
2.37 + 2.1 − 1.18 = 3.29
Para terminar esta operación se realiza una transformación inversa (antilogaritmo) para
obtener el resultado r.
r = 103.29 = 1950
Este proceso podemos describirlo mediante dos esquemas de la siguiente forma.
Regla
(10x)
Números Logaritmos
Regla
(103.29)
Logaritmo Número
La transformada de Laplace es una operación que se realiza con las funciones porque a
semejanza de los logaritmos permite obtener la solución de problemas complejos de una
manera sistemática y en muchos de los casos resolverlos de una forma más simple.
La definición de la transformada de una función f(t) que se encuentra definida para t ≥ 0 es:
∞ b
{ f (t )} = F ( s) = ∫ f (t )e− st dt = blim
→∞ ∫
f (t )e − st dt
0 0
A esta operación se le conoce como la transformada de Laplace y se realiza siempre que el
límite exista.
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Con el uso de la integral de la transformada de Laplace (Regla), se considera a continuación
el proceso que permite ir del dominio de la variable t al dominio de la variable s, el cual se
describe mediante el siguiente esquema:
Regla
(Integral)
Funciones en t Funciones en s
Es común que las variables t y s describan al tiempo y la frecuencia respectivamente.
Ejemplo: Obtenga la transformada de Laplace de f(t)=1.
Por la definición se tiene:
∞ b − st b
−e
{ f (t )} = ∫ (1)e −st dt = lim
b→∞ ∫
e −st dt = lim
0 0
b→∞ s 0
− st b − sb
−e −e +1 1
{ f (t )} = blim = lim =
→∞ s 0
b →∞ s s
{1 } = 1
s
No se usará más la aplicación del límite de la definición y se sobreentenderá su aplicación en
los siguientes ejemplos.
Ejemplo: Obtenga la transformada de Laplace de f(t)=t.
Por la definición se tiene:
∞
{ f (t )} = F ( s) = ∫ (t )e− st dt =
0
Integrando por partes se obtiene:
− 1 − st
u = t ⇒ du = dt dv = e − st dt ⇒ v = e
s
∞ ∞
− 1 − st −1 −1 1
F (s) = te − ∫ e − st dt = 2 e − st = 2
s 0 s s 0 s
1
{t } = 2
s
Ejemplo: Obtenga la transformada de Laplace de f(t)=e-at.
Por la definición se tiene:
∞ ∞
{ f (t )} = F ( s) = ∫ (e− at )e− st dt = ∫ e− ( s + a )t dt =
0 0
∞
1 − ( s + a )t 1
F (s) = − e =
s+a 0 s + a
1
{e− at } = s + a
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