, Facultad de Ingeniería Ecuaciones Diferenciales
APLICACIONES DE LAS EDL DE PRIMERO Y SEGUNDO ORDEN
Se considera a continuación la solución de varios problemas sobre aplicaciones de
ecuaciones diferenciales lineales (edl). Es necesario mencionar que para tales análisis se
requiere del conocimiento de dos aspectos importantes sin los cuales difícilmente se podrá
plantear la representación y solución de los mismos en términos de edl.
1. Es necesario conocer las relaciones fundamentales de los elementos que intervienen en
los sistemas en consideración.
2. Es necesario conocer las leyes que rigen la interconexión de los elementos que
intervienen en cada uno de tales sistemas.
• Trayectorias ortogonales.
Considérese la familia de círculos de radio r y con centro en el origen:
x2 + y2 = r 2
Eligiendo uno de los círculos ¿Cómo se puede determinar una trayectoria ortogonal al
círculo?
La respuesta se encuentra al recordar que la pendiente de una recta perpendicular a otra
es igual al recíproco negativo de la pendiente de recta en cuestión.
Con esta idea se puede decir que la pendiente de cualquiera de los círculos se puede
obtener al derivar implícitamente la ecuación del círculo, es decir:
dy dy x
2x + 2 y =0 ∴ =−
dx dx y
De este resultado se obtiene la pendiente de cualquiera de las trayectorias ortogonales:
dy y
= ⇒ y=cx
dx x
Este resultado muestra una familia de rectas que pasan por el origen y que son trayectorias
ortogonales a la familia de círculos con centro en el origen. Se afirma que estos dos tipos de
curvas son ortogonales.
Ejemplo: Determine las trayectorias ortogonales a la siguiente familia de curvas. Demuestre
que y=x3 es ortogonal a la elipse x2+3y2=4 en sus puntos de intersección.
x 2 + 3 y 2 = c1
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APLICACIONES DE LAS EDL DE PRIMERO Y SEGUNDO ORDEN
Se considera a continuación la solución de varios problemas sobre aplicaciones de
ecuaciones diferenciales lineales (edl). Es necesario mencionar que para tales análisis se
requiere del conocimiento de dos aspectos importantes sin los cuales difícilmente se podrá
plantear la representación y solución de los mismos en términos de edl.
1. Es necesario conocer las relaciones fundamentales de los elementos que intervienen en
los sistemas en consideración.
2. Es necesario conocer las leyes que rigen la interconexión de los elementos que
intervienen en cada uno de tales sistemas.
• Trayectorias ortogonales.
Considérese la familia de círculos de radio r y con centro en el origen:
x2 + y2 = r 2
Eligiendo uno de los círculos ¿Cómo se puede determinar una trayectoria ortogonal al
círculo?
La respuesta se encuentra al recordar que la pendiente de una recta perpendicular a otra
es igual al recíproco negativo de la pendiente de recta en cuestión.
Con esta idea se puede decir que la pendiente de cualquiera de los círculos se puede
obtener al derivar implícitamente la ecuación del círculo, es decir:
dy dy x
2x + 2 y =0 ∴ =−
dx dx y
De este resultado se obtiene la pendiente de cualquiera de las trayectorias ortogonales:
dy y
= ⇒ y=cx
dx x
Este resultado muestra una familia de rectas que pasan por el origen y que son trayectorias
ortogonales a la familia de círculos con centro en el origen. Se afirma que estos dos tipos de
curvas son ortogonales.
Ejemplo: Determine las trayectorias ortogonales a la siguiente familia de curvas. Demuestre
que y=x3 es ortogonal a la elipse x2+3y2=4 en sus puntos de intersección.
x 2 + 3 y 2 = c1
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