,Facultad de Ingeniería Ecuaciones Diferenciales
SISITEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
4.1 Condición de periodicidad para dos funciones senoidales de diferente frecuencia. .............3
4.2 Sistemas de ecuaciones diferenciales usando el operador D. ..........................................................6
4.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales usando la transformada de Laplace. ............................9
4.4 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones diferenciales usando la transformada de
Laplace. ........................................................................................................................................................................ 11
4.5 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. .................................................. 17
4.6 Algunas Propiedades de la Convolución................................................................................................. 24
4.7 Aplicaciones de la Convolución a Circuitos Eléctricos. ................................................................... 30
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,Facultad de Ingeniería Ecuaciones Diferenciales
4. SISITEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES.
4.1 Condición de periodicidad para dos funciones senoidales de diferente frecuencia.
Cuando se tiene la suma de dos o más senoidales de diferente frecuencia es necesario
determinar si tal función es o no periódica. El procedimiento consiste en analizar una función
que se asume es periódica y que está definida por:
f (t ) = cos ω1 t + cos ω2t
Se puede obtener el cociente de las dos frecuencias angulares de las senoidales como sigue:
2π 2π ω1 T2
ω1 = ω2 = =
T1 T2 ω2 T1
Dado que la función f(t) es periódica, entonces, su período T se podrá determinar mediante un
múltiplo entero de cada uno de los períodos de las senoidales, es decir:
T mT1 T m
T = mT1 T = nT2 = ∴ 2 =
T nT2 T1 n
Por lo tanto la condición de periodicidad será:
ω1 T2 m
p= = =
ω2 T1 n
Esto significa que f(t) será periódica si p es un número racional.
Debe notarse que para la condición de periodicidad no importan ni las amplitudes ni las fases
de las senoidales en cuestión.
Ejemplo: Determine si la siguiente función es o no periódica. En caso de serlo determine su
período.
1 1
f (t ) = sen(t ) + cos t − sen t
3 5
Como f(t) consta de 3 términos entonces es suficiente con que se prueben 2 cocientes de las
frecuencias angulares, por ejemplo la 1 con la 2 y la 2 con la 3 para saber si es o no periódica:
ω1 1 ω2 5
p1 = = =2 p2 = = =
ω2 ω3 3
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Ambos p1 y p2 son números racionales y por lo tanto f(t) es periódica.
Para determinar el período de f(t) se obtiene el período de cada una de las senoidales:
2π 1 2π
1= ∴ T1 = 2π = ∴ T2 = 6π
T1 3 T2
1 2π
= ∴ T3 = 10π
5 T3
Se obtiene el mínimo común múltiplo de los 3 períodos (sin considerar a π):
2 6 10 2
1 3 5 3
1 1 5 5
1 1 1 30
Por lo tanto, el período de f(t) es 30π.
Para verificar que f(t) es periódica con período igual a 30π se debe cumplir:
1 1
sen(t ) + cos t − sen t = sen(t ± 30π ) +
3 5
1 1
cos (t ± 30π ) − sen (t ± 30π ) =
3 5
sen(t ) cos(30π ) ± sen(30π ) cos(t ) +
cos(t / 3) cos(10π ) sen(t / 3) sen(10π ) −
sen(t / 5) cos(6π ) sen(6π ) cos(t / 5) =
1 1
sen(t ) + cos t − sen t
3 5
Con esto queda verificado que f(t) es periódica.
Ejemplo: Determine si la siguiente función es o no periódica. En caso de serlo determine su
período.
f (t ) = cos(t ) + sen(π t )
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4.1 Condición de periodicidad para dos funciones senoidales de diferente frecuencia. .............3
4.2 Sistemas de ecuaciones diferenciales usando el operador D. ..........................................................6
4.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales usando la transformada de Laplace. ............................9
4.4 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones diferenciales usando la transformada de
Laplace. ........................................................................................................................................................................ 11
4.5 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. .................................................. 17
4.6 Algunas Propiedades de la Convolución................................................................................................. 24
4.7 Aplicaciones de la Convolución a Circuitos Eléctricos. ................................................................... 30
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4.1 Condición de periodicidad para dos funciones senoidales de diferente frecuencia.
Cuando se tiene la suma de dos o más senoidales de diferente frecuencia es necesario
determinar si tal función es o no periódica. El procedimiento consiste en analizar una función
que se asume es periódica y que está definida por:
f (t ) = cos ω1 t + cos ω2t
Se puede obtener el cociente de las dos frecuencias angulares de las senoidales como sigue:
2π 2π ω1 T2
ω1 = ω2 = =
T1 T2 ω2 T1
Dado que la función f(t) es periódica, entonces, su período T se podrá determinar mediante un
múltiplo entero de cada uno de los períodos de las senoidales, es decir:
T mT1 T m
T = mT1 T = nT2 = ∴ 2 =
T nT2 T1 n
Por lo tanto la condición de periodicidad será:
ω1 T2 m
p= = =
ω2 T1 n
Esto significa que f(t) será periódica si p es un número racional.
Debe notarse que para la condición de periodicidad no importan ni las amplitudes ni las fases
de las senoidales en cuestión.
Ejemplo: Determine si la siguiente función es o no periódica. En caso de serlo determine su
período.
1 1
f (t ) = sen(t ) + cos t − sen t
3 5
Como f(t) consta de 3 términos entonces es suficiente con que se prueben 2 cocientes de las
frecuencias angulares, por ejemplo la 1 con la 2 y la 2 con la 3 para saber si es o no periódica:
ω1 1 ω2 5
p1 = = =2 p2 = = =
ω2 ω3 3
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Ambos p1 y p2 son números racionales y por lo tanto f(t) es periódica.
Para determinar el período de f(t) se obtiene el período de cada una de las senoidales:
2π 1 2π
1= ∴ T1 = 2π = ∴ T2 = 6π
T1 3 T2
1 2π
= ∴ T3 = 10π
5 T3
Se obtiene el mínimo común múltiplo de los 3 períodos (sin considerar a π):
2 6 10 2
1 3 5 3
1 1 5 5
1 1 1 30
Por lo tanto, el período de f(t) es 30π.
Para verificar que f(t) es periódica con período igual a 30π se debe cumplir:
1 1
sen(t ) + cos t − sen t = sen(t ± 30π ) +
3 5
1 1
cos (t ± 30π ) − sen (t ± 30π ) =
3 5
sen(t ) cos(30π ) ± sen(30π ) cos(t ) +
cos(t / 3) cos(10π ) sen(t / 3) sen(10π ) −
sen(t / 5) cos(6π ) sen(6π ) cos(t / 5) =
1 1
sen(t ) + cos t − sen t
3 5
Con esto queda verificado que f(t) es periódica.
Ejemplo: Determine si la siguiente función es o no periódica. En caso de serlo determine su
período.
f (t ) = cos(t ) + sen(π t )
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