,Facultad de ingeniería Ecuaciones Diferenciales
SERIES DE FOURIER
5.1 Funciones ortogonales. ........................................................................................................................................3
5.2 Conjuntos ortogonales y ortonormales. ..................................................................................................... 4
5.3 Representación de una función mediante un conjunto ortogonal de funciones. .....................6
5.4 Definición de la serie trigonométrica de Fourier. ...................................................................................9
5.5 Convergencia de la serie de Fourier. ......................................................................................................... 13
5.6 Atributos de simetría.......................................................................................................................................... 14
5.7 Efectos sobre los coeficientes de la serie................................................................................................. 16
5.8 Forma compleja de la serie de Fourier. ................................................................................................... 20
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, 5. SERIES DE FOURIER.
5.1 Funciones ortogonales.
En el ámbito de vectores una operación que se realiza es el producto punto, el producto
interior o producto escalar. Esta operación es entre dos vectores A y B y se define por la
siguiente expresión:
A ⋅ B = A B cos θ
A
B
θ
Si el ángulo θ entre estos dos vectores es de 90º, el producto interior es igual a cero y se dice
que los vectores son ortogonales o perpendiculares.
Cuando se consideran dos funciones, por ejemplo g1(t) y g2(t), es posible definir el producto
interior en el intervalo [a, b] de la siguiente forma:
b
g1 (t ) ⋅ g 2 (t ) = ∫ g1 (t ) g 2 (t )dt
a
Donde se asume que ambas funciones y sus correspondientes primeras derivadas son
diferenciables por secciones o partes (Ver anexo al final del capítulo).
Cuando el producto punto de las dos funciones es igual a cero, se dice que las funciones son
ortogonales en el intervalo [a, b].
Por ejemplo, las siguientes funciones son ortogonales porque al integral su producto en el
intervalo indicado el resultado es cero como se indica por los siguientes cálculos.
g1 (t ) = t g 2 (t ) = t 2 [− 1, 1]
1
1 1 1
g1 (t ) ⋅ g 2 (t ) = ∫ (t )(t 2 )dt = t 4 = (1 − 1) = 0
−1
4 −1 4
Nótese que la integral calcula el área bajo la curva que se determina por el producto de las
dos funciones. En particular, las dos funciones consideras son ortogonales en cualquier
intervalo [-a, a] ya que la función producto es t3 y con esto se tendrán dos áreas iguales pero
de signos contrarios.
SERIES DE FOURIER
5.1 Funciones ortogonales. ........................................................................................................................................3
5.2 Conjuntos ortogonales y ortonormales. ..................................................................................................... 4
5.3 Representación de una función mediante un conjunto ortogonal de funciones. .....................6
5.4 Definición de la serie trigonométrica de Fourier. ...................................................................................9
5.5 Convergencia de la serie de Fourier. ......................................................................................................... 13
5.6 Atributos de simetría.......................................................................................................................................... 14
5.7 Efectos sobre los coeficientes de la serie................................................................................................. 16
5.8 Forma compleja de la serie de Fourier. ................................................................................................... 20
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, 5. SERIES DE FOURIER.
5.1 Funciones ortogonales.
En el ámbito de vectores una operación que se realiza es el producto punto, el producto
interior o producto escalar. Esta operación es entre dos vectores A y B y se define por la
siguiente expresión:
A ⋅ B = A B cos θ
A
B
θ
Si el ángulo θ entre estos dos vectores es de 90º, el producto interior es igual a cero y se dice
que los vectores son ortogonales o perpendiculares.
Cuando se consideran dos funciones, por ejemplo g1(t) y g2(t), es posible definir el producto
interior en el intervalo [a, b] de la siguiente forma:
b
g1 (t ) ⋅ g 2 (t ) = ∫ g1 (t ) g 2 (t )dt
a
Donde se asume que ambas funciones y sus correspondientes primeras derivadas son
diferenciables por secciones o partes (Ver anexo al final del capítulo).
Cuando el producto punto de las dos funciones es igual a cero, se dice que las funciones son
ortogonales en el intervalo [a, b].
Por ejemplo, las siguientes funciones son ortogonales porque al integral su producto en el
intervalo indicado el resultado es cero como se indica por los siguientes cálculos.
g1 (t ) = t g 2 (t ) = t 2 [− 1, 1]
1
1 1 1
g1 (t ) ⋅ g 2 (t ) = ∫ (t )(t 2 )dt = t 4 = (1 − 1) = 0
−1
4 −1 4
Nótese que la integral calcula el área bajo la curva que se determina por el producto de las
dos funciones. En particular, las dos funciones consideras son ortogonales en cualquier
intervalo [-a, a] ya que la función producto es t3 y con esto se tendrán dos áreas iguales pero
de signos contrarios.
