Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
(1000004) Cálculo Diferencial
Taller 4 - Semanas 10 y 11
Los talleres del curso son listas de ejercicios propuestas para un mejor entendimiento de los contenidos.
Se sugiere que sean analizados, discutidos y resueltos juiciosamente, ya sea de manera individual o grupal.
Ante cualquier duda, además de consultar al profesor, es recomendable usar los espacios ofrecidos por la
Universidad: monitorías, grupos de estudio autónomo, etc. Salvo que se indique explícitamente, no son
para entrega obligatoria. Los puntos marcados con (∗) son sugeridos para aquellos que deseen ahondar en
terrenos más formales y pueden ser omitidos en una primera solución.
I. Buscar un función f que satisfaga f (2) = 0, lı́m f (x) = 0, lı́m f (x) = −∞, lı́m f (x) = ∞ y
x→±∞ x→0 x→3−
lı́m f (x) = −∞.
x→3+
II. Encuentre las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (si las hay) de cada una de las siguientes
funciones.
1 2x
1. f (x) = 1 − 4. j(x) =
x 6x2 + 11x − 10
4 − 3x −1
2. g(x) = 5. k(x) = √
x+1 2
x + 5x + 6
4x2 x
3. h(x) = 2 6. l(x) = √
x −9 2
x −9
III. Encuentre las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (si las hay) de cada una de las siguientes
curvas.1
1. 3xy − 2x − 4y − 3 = 0 3. xy 2 + 3y 2 − 9x = 0
2. x2 y 2 − x2 + 4y 2 = 0 4. (y 2 − 1)(x − 3) = 6
IV. Usando la definición de derivada, encuentre la derivada de las siguientes funciones.2
1 1 3+x
1. f (x) = x − 5. n(x) =
2 3 1 − 3x
2. f (t) = 5t − 9t2 1
6. h(t) = √
3. g(x) = x3 − 3x + 5 t
√
4. h(x) = x + x 7. F (x) = x6
V. Sea f (x) = 2x2 − x3 . Mediante la definición de derivada halle f 0 , f 00 , f 000 y f (4) .
VI. Usando reglas de derivación (excepto regla de la cadena), derive las siguientes funciones.
1
Sugerencia: despeje y en términos de x.
2
Sugerencia: en algunos ejercicios es conveniente usar el límite convencional y, en otros, el alternativo.
1
, √
1. f (x) = 186,5 17. g(z) = zez
2. g(x) = 34 x8
1 + 3z
18. h(z) = (3 − z)
3. h(x) = x3 − 4x + 6 3z
4. j(x) = 41 (x4 + 8) 19. f (θ) = cos 2θ
5. k(x) = (x − 2)(2x + 3) 20. y = sen(x − 2π)
√ 1
6. f (t) = t − √ 21. y = sen(2t)
t
2
1 − cos(2θ)
x + 4x + 3 22. g(θ) =
7. y = √ 2
x
1 − cos(2r)
b c 23. m(r) =
8. f (v) = aev + + 2 1 + cos(2r)
v√ v
√
5 24. y = 2x3 + sec x tan x
9. u(t) = t + 4 t5
1
10. f (n) = (n3 + 2n)en 25. l(t) = − sen t
csc t
(t + 1)(t + 2)
11. g(t) = 26. y = (sen x + cos x) sec x
(t − 1)(t − 2)
cot x
ex 27. y =
12. y = 1 + cot x
1+x cos x x
3x − 1 28. y = +
13. m(x) = x cos x
+1
2x 4 1
1 3 29. y = +
14. f (y) = − y2 cos x tan x
y2 y4
30. y = x2 sen x + 2x cos x − 2 sen x
15. n(x) = (x2 − 2x)ex
√ 31. y = 4 − x2 sen x
s−1
16. f (s) = √ 32. y = (1 + sec z) sen z
s+1
VII. Sea f una función tal que f (2) = 4 y f 0 (2) = −3. Sean
x2 p
g(x) = xf (x), h(x) = y k(x) = x + f (x).
f (x)
Hallar
1. g 0 (2) 2. h0 (2) 3. k 0 (2)
VIII. ¿En qué puntos de su dominio las siguientes funciones no son derivables? Explique por qué.
√
1. f (x) = 3
x 2. g(x) = x2/3 3. h(x) = |x − 6|
IX. Demuestre que la curva y = 6x3 + 5x − 3 no tiene recta tangente con pendiente 4.
X. ¿En qué puntos sobre la curva y = 1 + 2ex − 3x es la recta tangente paralela a la recta 3x − y = 5?
1
XI. La curva y = se llama bruja de Agnesi.3 Encuentre una ecuación de la recta tangente a esta
1 + x2
curva en el punto (−1, 1/2).
3
María Gaetano Agnesi estudió con detalle esta curva, que había sido llamada versiera (del latín vertere, que significa
virar, girar). Parece ser que el nombre de “bruja” le viene a la curva de una traducción incorrecta al inglés de la palabra
italiana avversiera, que significa hechicera, bruja.
2
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
(1000004) Cálculo Diferencial
Taller 4 - Semanas 10 y 11
Los talleres del curso son listas de ejercicios propuestas para un mejor entendimiento de los contenidos.
Se sugiere que sean analizados, discutidos y resueltos juiciosamente, ya sea de manera individual o grupal.
Ante cualquier duda, además de consultar al profesor, es recomendable usar los espacios ofrecidos por la
Universidad: monitorías, grupos de estudio autónomo, etc. Salvo que se indique explícitamente, no son
para entrega obligatoria. Los puntos marcados con (∗) son sugeridos para aquellos que deseen ahondar en
terrenos más formales y pueden ser omitidos en una primera solución.
I. Buscar un función f que satisfaga f (2) = 0, lı́m f (x) = 0, lı́m f (x) = −∞, lı́m f (x) = ∞ y
x→±∞ x→0 x→3−
lı́m f (x) = −∞.
x→3+
II. Encuentre las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (si las hay) de cada una de las siguientes
funciones.
1 2x
1. f (x) = 1 − 4. j(x) =
x 6x2 + 11x − 10
4 − 3x −1
2. g(x) = 5. k(x) = √
x+1 2
x + 5x + 6
4x2 x
3. h(x) = 2 6. l(x) = √
x −9 2
x −9
III. Encuentre las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (si las hay) de cada una de las siguientes
curvas.1
1. 3xy − 2x − 4y − 3 = 0 3. xy 2 + 3y 2 − 9x = 0
2. x2 y 2 − x2 + 4y 2 = 0 4. (y 2 − 1)(x − 3) = 6
IV. Usando la definición de derivada, encuentre la derivada de las siguientes funciones.2
1 1 3+x
1. f (x) = x − 5. n(x) =
2 3 1 − 3x
2. f (t) = 5t − 9t2 1
6. h(t) = √
3. g(x) = x3 − 3x + 5 t
√
4. h(x) = x + x 7. F (x) = x6
V. Sea f (x) = 2x2 − x3 . Mediante la definición de derivada halle f 0 , f 00 , f 000 y f (4) .
VI. Usando reglas de derivación (excepto regla de la cadena), derive las siguientes funciones.
1
Sugerencia: despeje y en términos de x.
2
Sugerencia: en algunos ejercicios es conveniente usar el límite convencional y, en otros, el alternativo.
1
, √
1. f (x) = 186,5 17. g(z) = zez
2. g(x) = 34 x8
1 + 3z
18. h(z) = (3 − z)
3. h(x) = x3 − 4x + 6 3z
4. j(x) = 41 (x4 + 8) 19. f (θ) = cos 2θ
5. k(x) = (x − 2)(2x + 3) 20. y = sen(x − 2π)
√ 1
6. f (t) = t − √ 21. y = sen(2t)
t
2
1 − cos(2θ)
x + 4x + 3 22. g(θ) =
7. y = √ 2
x
1 − cos(2r)
b c 23. m(r) =
8. f (v) = aev + + 2 1 + cos(2r)
v√ v
√
5 24. y = 2x3 + sec x tan x
9. u(t) = t + 4 t5
1
10. f (n) = (n3 + 2n)en 25. l(t) = − sen t
csc t
(t + 1)(t + 2)
11. g(t) = 26. y = (sen x + cos x) sec x
(t − 1)(t − 2)
cot x
ex 27. y =
12. y = 1 + cot x
1+x cos x x
3x − 1 28. y = +
13. m(x) = x cos x
+1
2x 4 1
1 3 29. y = +
14. f (y) = − y2 cos x tan x
y2 y4
30. y = x2 sen x + 2x cos x − 2 sen x
15. n(x) = (x2 − 2x)ex
√ 31. y = 4 − x2 sen x
s−1
16. f (s) = √ 32. y = (1 + sec z) sen z
s+1
VII. Sea f una función tal que f (2) = 4 y f 0 (2) = −3. Sean
x2 p
g(x) = xf (x), h(x) = y k(x) = x + f (x).
f (x)
Hallar
1. g 0 (2) 2. h0 (2) 3. k 0 (2)
VIII. ¿En qué puntos de su dominio las siguientes funciones no son derivables? Explique por qué.
√
1. f (x) = 3
x 2. g(x) = x2/3 3. h(x) = |x − 6|
IX. Demuestre que la curva y = 6x3 + 5x − 3 no tiene recta tangente con pendiente 4.
X. ¿En qué puntos sobre la curva y = 1 + 2ex − 3x es la recta tangente paralela a la recta 3x − y = 5?
1
XI. La curva y = se llama bruja de Agnesi.3 Encuentre una ecuación de la recta tangente a esta
1 + x2
curva en el punto (−1, 1/2).
3
María Gaetano Agnesi estudió con detalle esta curva, que había sido llamada versiera (del latín vertere, que significa
virar, girar). Parece ser que el nombre de “bruja” le viene a la curva de una traducción incorrecta al inglés de la palabra
italiana avversiera, que significa hechicera, bruja.
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