MATES II
APUNTES
SELECTIVIDAD
UCADEMY
Ucademy.es
,MATES II
Índice
1. Matrices & Sistemas de Ecuaciones 6
1.1. Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Determinantes (det A, |A|) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Determinantes por Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6. Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7. Método de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8. Matriz Transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9. Ecuaciones Matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.10. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.10.1. Tipos de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.11. Resolución de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.11.1. Método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.11.2. Teorema de Rouché-Forbenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.12. Ejemplos (Discutir y resolver el sistema) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Límites 17
2.1. Límites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Límites con Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3. Operaciones con Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4. Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5. Indeterminaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6. Indeterminación 00 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7. Indeterminación 0 · ∞: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8. Indeterminación 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. Continuidad 20
3.1. Tipos de descontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. Derivación 21
4.1. Tasa de variación media (TVM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2. Definición de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4. Ecuación recta tangente y recta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.5. Tabla de derivadas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2
,MATES II
4.6. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.7. Continuidad y derivabilidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.8. Estudio de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.9. Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.10. Teorema valores intermedios (generalización del T. Bolzano) . . . . . . . . 25
4.11. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.12. Teorema de Rolle (caso especial del TVM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.13. Regla de l’Hôpital (Límites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.14. Problemas de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5. Integración 27
5.1. Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2. Integrales casi inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3. Primitivas y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.4. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.5. Por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.6. Integración funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.7. Áreas - Integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6. Geometría en el espacio 30
6.1. Vectores en el espacio (espacios vectoriales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.2. Vectores que pasan por dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.3. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.4. Introducción al concepto de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.5. Combinación lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.6. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.7. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.8. Bases de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.9. Producto escalar de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.10. Producto vectorial de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.11. Producto mixto de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.12. Aplicaciones geométricas del producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.13. Aplicaciones geométricas del producto mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.14. Ecuaciones de rectas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.15. Ecuaciones de planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.16. Vector normal de un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.17. Recta determinada por dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3
, MATES II
6.18. Posición relativa de dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.19. Posición relativa de tres planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.20. Posición relativa de 2 rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.21. Posición relativa recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.22. Ecuación haz de planos de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.23. Punto medio de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.24. División en 3 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.25. Cálculo de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.26. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.27. Distancia entre punto y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.28. Distancia entre punto y recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.29. Simétrico de P respecto π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.30. Distancia entre dos rectas que se cruzan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7. Probabilidad 40
7.1. Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.2. Espacio muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.3. Tipos de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.4. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8. Probabilidad: definiciones y propiedades 42
8.1. Regla de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.2. Definición axiomática de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.3. Probabilidad de la unión de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.4. Probabilidad de la diferencia de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.5. Técnicas de recuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.6. Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.7. Sucesos dependientes e independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.8. Probabilidad total y teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.9. Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.10. Distribución de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.11. Función de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.12. Función de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.13. Media y varianza (distribución discreta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.14. Distribución binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.15. Probabilidad, media y varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.16. Distribuciones de probabilidad continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4
APUNTES
SELECTIVIDAD
UCADEMY
Ucademy.es
,MATES II
Índice
1. Matrices & Sistemas de Ecuaciones 6
1.1. Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Determinantes (det A, |A|) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Determinantes por Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6. Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7. Método de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8. Matriz Transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9. Ecuaciones Matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.10. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.10.1. Tipos de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.11. Resolución de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.11.1. Método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.11.2. Teorema de Rouché-Forbenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.12. Ejemplos (Discutir y resolver el sistema) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Límites 17
2.1. Límites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Límites con Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3. Operaciones con Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4. Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5. Indeterminaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6. Indeterminación 00 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7. Indeterminación 0 · ∞: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8. Indeterminación 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. Continuidad 20
3.1. Tipos de descontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. Derivación 21
4.1. Tasa de variación media (TVM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2. Definición de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4. Ecuación recta tangente y recta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.5. Tabla de derivadas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2
,MATES II
4.6. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.7. Continuidad y derivabilidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.8. Estudio de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.9. Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.10. Teorema valores intermedios (generalización del T. Bolzano) . . . . . . . . 25
4.11. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.12. Teorema de Rolle (caso especial del TVM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.13. Regla de l’Hôpital (Límites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.14. Problemas de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5. Integración 27
5.1. Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2. Integrales casi inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3. Primitivas y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.4. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.5. Por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.6. Integración funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.7. Áreas - Integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6. Geometría en el espacio 30
6.1. Vectores en el espacio (espacios vectoriales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.2. Vectores que pasan por dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.3. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.4. Introducción al concepto de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.5. Combinación lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.6. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.7. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.8. Bases de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.9. Producto escalar de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.10. Producto vectorial de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.11. Producto mixto de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.12. Aplicaciones geométricas del producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.13. Aplicaciones geométricas del producto mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.14. Ecuaciones de rectas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.15. Ecuaciones de planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.16. Vector normal de un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.17. Recta determinada por dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3
, MATES II
6.18. Posición relativa de dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.19. Posición relativa de tres planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.20. Posición relativa de 2 rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.21. Posición relativa recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.22. Ecuación haz de planos de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.23. Punto medio de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.24. División en 3 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.25. Cálculo de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.26. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.27. Distancia entre punto y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.28. Distancia entre punto y recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.29. Simétrico de P respecto π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.30. Distancia entre dos rectas que se cruzan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7. Probabilidad 40
7.1. Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.2. Espacio muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.3. Tipos de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.4. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8. Probabilidad: definiciones y propiedades 42
8.1. Regla de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.2. Definición axiomática de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.3. Probabilidad de la unión de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.4. Probabilidad de la diferencia de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.5. Técnicas de recuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.6. Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.7. Sucesos dependientes e independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.8. Probabilidad total y teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.9. Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.10. Distribución de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.11. Función de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.12. Función de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.13. Media y varianza (distribución discreta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.14. Distribución binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.15. Probabilidad, media y varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.16. Distribuciones de probabilidad continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4
