LIMITE
sábado,Ê13ÊdeÊagostoÊdeÊ2022 11:16Êa. m.
DefiniciónÊÊDeÊLímiteÊDeÊUnaÊFunciónÊÊ
Sea 𝒇 una función de inida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a
𝒂, excepto posiblemente en el número 𝒂 mismo. El límite de 𝒇(𝒙) conforme 𝒙 se
aproxima a 𝒂 es 𝑳, lo que se escribe como: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳, ∀𝜺 > 𝟎, ∃𝜹 > 𝟎 tal que 𝟎
< |𝒙 − 𝒂| < 𝜹 entonces |𝒇(𝒙) − 𝑳| < 𝝐
𝒙→𝒂
Es decir, si existe un número positivo 𝜹 que sea mayor a |𝒙 − 𝒂|, entonces, para
cualquier número positivo 𝝐, este último será mayor a |𝒇(𝒙) − 𝑳|
En otras palabra, esta definición establece que los valores de la función 𝒇(𝒙) se
aproximan al límite 𝑳, conforme 𝒙 lo hace al número 𝒂, si el valor absoluto de la
diferencia entre 𝒇(𝒙) y 𝑳 puede hacerse tan pequeño como se desee, tomando 𝒙
suficientemente cerca de 𝒂 pero no iguala a 𝒂
Ejemplo: Utilice la definición de límite, para demostrar que:
lim(4𝑥 − 5) = 3
𝑥→2
Sol. Lo primero que debemos comprobar es que, la función: 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟓 esté de inida
en cada número de un intervalo abierto que contenga a 2, excepto posiblemente en 2, y
esto se cumple dado que, la función es polinómica. Ahora se debe demostrar que para
cualquier 𝜺 > 𝟎, existe un 𝜹 > 𝟎 tal que
Si 𝟎 < |𝒙 − 𝟐| < 𝜹 entonces |(𝟒𝒙 − 𝟓) − 𝟑| < 𝝐
|𝟒𝒙 − 𝟖| < 𝝐
|𝟒(𝒙 − 𝟐)| < 𝝐
|𝟒| ∙ |𝒙 − 𝟐| < 𝝐
∈
|𝒙 − 𝟐| < 𝟒 =Ê8
TeoremasÊSobreÊLímites.Ê
TeoremaÊ1: LímiteÊdeÊunaÊfunciónÊlinealÊÊSi 𝒎 y 𝒃 son dos constantes cualesquiera,
entonces
𝐥𝐢𝐦(𝒎𝒙 + 𝒃) = 𝒎𝒂 + 𝒃
𝒙→𝒂
sábado,Ê13ÊdeÊagostoÊdeÊ2022 11:16Êa. m.
DefiniciónÊÊDeÊLímiteÊDeÊUnaÊFunciónÊÊ
Sea 𝒇 una función de inida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a
𝒂, excepto posiblemente en el número 𝒂 mismo. El límite de 𝒇(𝒙) conforme 𝒙 se
aproxima a 𝒂 es 𝑳, lo que se escribe como: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳, ∀𝜺 > 𝟎, ∃𝜹 > 𝟎 tal que 𝟎
< |𝒙 − 𝒂| < 𝜹 entonces |𝒇(𝒙) − 𝑳| < 𝝐
𝒙→𝒂
Es decir, si existe un número positivo 𝜹 que sea mayor a |𝒙 − 𝒂|, entonces, para
cualquier número positivo 𝝐, este último será mayor a |𝒇(𝒙) − 𝑳|
En otras palabra, esta definición establece que los valores de la función 𝒇(𝒙) se
aproximan al límite 𝑳, conforme 𝒙 lo hace al número 𝒂, si el valor absoluto de la
diferencia entre 𝒇(𝒙) y 𝑳 puede hacerse tan pequeño como se desee, tomando 𝒙
suficientemente cerca de 𝒂 pero no iguala a 𝒂
Ejemplo: Utilice la definición de límite, para demostrar que:
lim(4𝑥 − 5) = 3
𝑥→2
Sol. Lo primero que debemos comprobar es que, la función: 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟓 esté de inida
en cada número de un intervalo abierto que contenga a 2, excepto posiblemente en 2, y
esto se cumple dado que, la función es polinómica. Ahora se debe demostrar que para
cualquier 𝜺 > 𝟎, existe un 𝜹 > 𝟎 tal que
Si 𝟎 < |𝒙 − 𝟐| < 𝜹 entonces |(𝟒𝒙 − 𝟓) − 𝟑| < 𝝐
|𝟒𝒙 − 𝟖| < 𝝐
|𝟒(𝒙 − 𝟐)| < 𝝐
|𝟒| ∙ |𝒙 − 𝟐| < 𝝐
∈
|𝒙 − 𝟐| < 𝟒 =Ê8
TeoremasÊSobreÊLímites.Ê
TeoremaÊ1: LímiteÊdeÊunaÊfunciónÊlinealÊÊSi 𝒎 y 𝒃 son dos constantes cualesquiera,
entonces
𝐥𝐢𝐦(𝒎𝒙 + 𝒃) = 𝒎𝒂 + 𝒃
𝒙→𝒂
