Formulario de Precálculo. 5. Leyes de los logaritmos.
a) loga (P Q) = loga (P ) + loga (Q)
1. Los Números.
P
b) loga = loga (P ) − loga (Q)
Q
1. Leyes de los exponentes y radicales.
c) loga (Qn ) = n loga (Q)
m n m+n m n mn n n n
a) a a = a b) (a ) = a c) (ab) = a b
d ) aloga (x) = x
a n n m
a a 1
d) = e) = am−n f ) a−n = e) loga (ax ) = x
b bn an an
√ √ √ m f ) loga (1) = 0
g) a1/n = na h) am/n = n am i) am/n = ( n a)
√ g) aloga (a) = 1
√ √ √ p√ √
r
n n a n
a m
j) ab = n a b k) n = √ l) n
a= a
mn
b n
b h) log(x) = log10 (x)
2. Productos Notables. i) ln(x) = loge (x)
2 2 logb (Q)
a) Binomios Conjugados: (x + y)(x − y) = x − y
j ) Cambio de base: loga (Q) =
2
b) Binomio al Cuadrado: (x ± y) = x ± 2xy + y 2 2 logb (a)
c) Binomio al Cubo: (x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3
2
d ) (x + y) = x2 + 2 xy + y 2 2. Soluciones Exactas de ecuacio-
2
e) (x − y) = x2 − 2 xy + y 2 nes Algebraicas
3
f ) (x + y) = x3 + 3 x2 y + 3 xy 2 + y 3
6. Soluciones Exactas de Ecuaciones Algebraicas.
3
g) (x − y) = x3 − 3 x2 y + 3 xy 2 − y 3
4 a) La Ecuación Cuadrática: ax2 + bx + c = 0 tiene
h) (x + y) = x4 + 4 x3 y + 6 x2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 soluciones: √
i) (x − y)4 = x4 − 4 x3 y + 6 x2 y 2 − 4 xy 3 + y 4 −b ± b2 − 4ac
x=
5 2a
j ) (x + y) = x5 + 5 x4 y + 10 x3y 2 + 10 x2y 3 + 5 xy 4 + y 5 2
El número b −4ac se llama discriminante de la ecua-
k ) (x − y)5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3y 2 − 10 x2y 3 + 5 xy 4 − y 5 ción.
3. Teorema del Binomio. Sea n ∈ N, entonces: i) Si b2 − 4ac > 0 las raı́ces son reales y diferentes.
ii) Si b2 − 4ac = 0 las raı́ces son reales e iguales.
n iii) Si b2 − 4ac < 0 las raı́ces son complejas conjuga-
X n n−r r das.
(x + y)n = x y
r
r=0 b) Para la Ecuación Cúbica: x3 + ax2 + bx + c = 0
sean:
n n!
Nota: = n Cr =
r r!(n − r)! 3b − a2 9ab − 27c − 2a3
Q= , R=
4. Factores Notables. 9 54
q q
3 3
p p
a) Diferencia de Cuadrados: x2 − y 2 = (x + y)(x − y) S = R + Q3 + R 2 , T = R − Q3 + R 2
b) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ) Entonces las soluciones son:
3 3
c) Diferencia de Cubos: x − y = (x − y)(x + xy + y ) 2 2 a
x1 =S + T −
3
d ) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 ±2xy+y 2 = (x±y)2 √ !
S+T a (S − T ) 3
e) x2 − y 2 = (x − y) (x + y) x2 = − + + i
2 3 2
f ) x3 − y 3 = (x − y) x2 + xy + y 2
√ !
S+T a (S − T ) 3
g) x3 + y 3 = (x + y) x2 − xy + y 2
x3 = − + − i
2 3 2
h) x4 − y 4 = (x − y) (x + y) x2 + y 2
i) x5 − y 5 = (x − y) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4
El número Q3 +R2 se llama discriminante de la ecua-
ción.
j ) x5 + y 5 = (x + y) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4
i) Si Q3 + R2 > 0, hay una raı́z real y dos son com-
k ) x6 −y 6 = (x − y) (x + y) x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2 plejas conjugadas.
ii) Si Q3 + R2 = 0, las raı́ces son reales y por lo me-
l ) x4 + x2 y 2 + y 4 = x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2
nos dos son iguales.
m) x4 + 4 y 4 = x2 − 2 xy + 2 y 2 x2 + 2 xy + 2 y 2
iii) Si Q3 + R2 < 0, las raı́ces son reales y diferentes.
1
,3. Funciones Trigonométricas. cos3 (A) = 3
4 cos(A) + 1
4 cos(3A)
4 3 1 1
3.1. Relaciones entre Funciones Trigo- sen (A) = 8 − 2 cos(2A) + 8 cos(4A)
nométricas. 3 1 1
cos4 (A) = 8 + 2 cos(2A) + 8 cos(4A)
1 5 5 1
csc(A) = sen2 (A) + cos2 (A) = 1 sen5 (A) = 8 sen(A) − 16 sen(3A) + 16 sen(5A)
sen(A)
5 5 1
cos5 (A) = 8 cos(A) + 16 cos(3A) + 16 cos(5A)
1 2 2
sec(A) = sec (A) − tan (A) = 1
cos(A)
3.3. Suma, Diferencia y Producto las Funcio-
sen(A) nes Trigonométricas.
tan(A) = csc2 (A) − cot2 (A) = 1 A+B
A−B
cos(A) sen(A) + sen(B) = 2 sen 2 cos 2
A−B A+B
cos(A) 1 sen(A) − sen(B) = 2 sen 2 cos 2
cot(A) = =
sen(A) tan(A) A+B
A−B
cos(A) + cos(B) = 2 cos 2 cos 2
A+B B−A
cos(A) − cos(B) = 2 sen 2 sen 2
3.2. Potencias de Funciones Trigonométricas.
1
sen(A) sen(B) = 2 cos(A − B) − cos(A + B)
1 1
sen2 (A) = 2 − 2 cos(2A)
1
cos(A) cos(B) = 2 cos(A − B) + cos(A + B)
1 1
cos2 (A) = 2 + 2 cos(2A)
1
sen(A) cos(B) = 2 sen(A − B) + sen(A + B)
3 3 1
sen (A) = 4 sen(A) − 4 sen(3A)
4. Funciones Hiperbólicas.
ex − e−x 2
Seno hiperbólico de x = senh(x) = Cosecante hiperbólica de x = csch(x) =
2 ex − e−x
ex + e−x 2
Coseno hiperbólico de x = cosh(x) = Secante hiperbólica de x = sech(x) =
2 ex + e−x
ex − e−x ex + e−x
Tangente hiperbólica de x = tanh(x) = Cotangente hiperbólica de x = coth(x) =
ex + e−x ex − e−x
4.1. Relación entre las Funciones Hiperbólicas.
senh(x) 1 cosh2 (x) − senh2 (x) = 1
tanh(x) = sech(x) =
cosh(x) cosh(x)
sech2 (x) + tanh2 (x) = 1
1
1 cosh(x) csch(x) =
coth(x) = = senh(x) coth2 (x) − csch2 (x) = 1
tanh(x) senh(x)
2
, Formulario de Cálculo. Funciones Trigonométricas:
Función: Su Derivada:
Derivadas. f = sen(u) f ′ = cos(u) · u′
f = cos(u) f ′ = − sen(u) · u′
En este formulario: k, c ∈ R son constantes reales, f = f (x),
u = u(x) y v = v(x) son funciones que dependen de x. f = tan(u) f ′ = sec2 (u) · u′
f = csc(u) f ′ = − csc(u) cot(u) · u′
Fórmulas Básicas:
f = sec(u) f ′ = sec(u) tan(u) · u′
Función: Su Derivada:
f = cot(u) f ′ = − csc2 (u) · u′
f =k f′ = 0
Linealidad de la derivada:
f =k·u f ′ = k · u′ Funciones Trigonométricas Inversas:
Función: Su Derivada:
f =u±v f ′ = u′ ± v ′ u′
f = arc sen(u) f′ = √ ; |u| < 1
′ ′ ′ 1 − u2
f =k·u±c·v f =k·u ±c·v
u′
Regla del Producto: f = arc cos(u) f′ = −√ ; |u| < 1
1 − u2
f =u·v f ′ = u · v ′ + v · u′ u′
f = arctan(u) f′ =
1 + u2
Regla del Cociente:
u′
u v · u′ − u · v ′ f = arccsc(u) f′ = − √
f= f′ = u u2 − 1
v v2
u′
Regla de la Cadena (Composición de funciones) f = arcsec(u) f′ = √ ; |u| > 1
u u2 − 1
f = u(x) ◦ v(x) f ′ = [u(v(x))]′ · v ′ (x) u′
f = arccot(u) f′ = − ; |u| > 1
1 + u2
Regla de la Potencia:
f = vn f ′ = n · v n−1 · v ′
f = k · vn f ′ = k · n · v n−1 · v ′ Funciones Hiperbólicas:
Función: Su Derivada:
Funciones Exponenciales:
f = senh(u) f ′ = cosh(u) · u′
f = eu f ′ = eu · u ′
f = cosh(u) f ′ = senh(u) · u′
f = au f ′ = au · ln(a) · u′
f = tanh(u) f ′ = sech2 (u) · u′
Funciones Logarı́tmicas:
f = csch(u) f ′ = −csch(u) coth(u) · u′
′ u′
f = ln(u) f =
u f = sech(u) f ′ = −sech(u) tanh(u) · u′
u′
f = loga (u) f′ = f = coth(u) f ′ = −csch2 (u) · u′
u · ln(a)
Una Función elevada a otra Función:
v · u′
v ′ v ′
f =u f = u v · ln(u) +
u
3
a) loga (P Q) = loga (P ) + loga (Q)
1. Los Números.
P
b) loga = loga (P ) − loga (Q)
Q
1. Leyes de los exponentes y radicales.
c) loga (Qn ) = n loga (Q)
m n m+n m n mn n n n
a) a a = a b) (a ) = a c) (ab) = a b
d ) aloga (x) = x
a n n m
a a 1
d) = e) = am−n f ) a−n = e) loga (ax ) = x
b bn an an
√ √ √ m f ) loga (1) = 0
g) a1/n = na h) am/n = n am i) am/n = ( n a)
√ g) aloga (a) = 1
√ √ √ p√ √
r
n n a n
a m
j) ab = n a b k) n = √ l) n
a= a
mn
b n
b h) log(x) = log10 (x)
2. Productos Notables. i) ln(x) = loge (x)
2 2 logb (Q)
a) Binomios Conjugados: (x + y)(x − y) = x − y
j ) Cambio de base: loga (Q) =
2
b) Binomio al Cuadrado: (x ± y) = x ± 2xy + y 2 2 logb (a)
c) Binomio al Cubo: (x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3
2
d ) (x + y) = x2 + 2 xy + y 2 2. Soluciones Exactas de ecuacio-
2
e) (x − y) = x2 − 2 xy + y 2 nes Algebraicas
3
f ) (x + y) = x3 + 3 x2 y + 3 xy 2 + y 3
6. Soluciones Exactas de Ecuaciones Algebraicas.
3
g) (x − y) = x3 − 3 x2 y + 3 xy 2 − y 3
4 a) La Ecuación Cuadrática: ax2 + bx + c = 0 tiene
h) (x + y) = x4 + 4 x3 y + 6 x2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 soluciones: √
i) (x − y)4 = x4 − 4 x3 y + 6 x2 y 2 − 4 xy 3 + y 4 −b ± b2 − 4ac
x=
5 2a
j ) (x + y) = x5 + 5 x4 y + 10 x3y 2 + 10 x2y 3 + 5 xy 4 + y 5 2
El número b −4ac se llama discriminante de la ecua-
k ) (x − y)5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3y 2 − 10 x2y 3 + 5 xy 4 − y 5 ción.
3. Teorema del Binomio. Sea n ∈ N, entonces: i) Si b2 − 4ac > 0 las raı́ces son reales y diferentes.
ii) Si b2 − 4ac = 0 las raı́ces son reales e iguales.
n iii) Si b2 − 4ac < 0 las raı́ces son complejas conjuga-
X n n−r r das.
(x + y)n = x y
r
r=0 b) Para la Ecuación Cúbica: x3 + ax2 + bx + c = 0
sean:
n n!
Nota: = n Cr =
r r!(n − r)! 3b − a2 9ab − 27c − 2a3
Q= , R=
4. Factores Notables. 9 54
q q
3 3
p p
a) Diferencia de Cuadrados: x2 − y 2 = (x + y)(x − y) S = R + Q3 + R 2 , T = R − Q3 + R 2
b) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ) Entonces las soluciones son:
3 3
c) Diferencia de Cubos: x − y = (x − y)(x + xy + y ) 2 2 a
x1 =S + T −
3
d ) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 ±2xy+y 2 = (x±y)2 √ !
S+T a (S − T ) 3
e) x2 − y 2 = (x − y) (x + y) x2 = − + + i
2 3 2
f ) x3 − y 3 = (x − y) x2 + xy + y 2
√ !
S+T a (S − T ) 3
g) x3 + y 3 = (x + y) x2 − xy + y 2
x3 = − + − i
2 3 2
h) x4 − y 4 = (x − y) (x + y) x2 + y 2
i) x5 − y 5 = (x − y) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4
El número Q3 +R2 se llama discriminante de la ecua-
ción.
j ) x5 + y 5 = (x + y) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4
i) Si Q3 + R2 > 0, hay una raı́z real y dos son com-
k ) x6 −y 6 = (x − y) (x + y) x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2 plejas conjugadas.
ii) Si Q3 + R2 = 0, las raı́ces son reales y por lo me-
l ) x4 + x2 y 2 + y 4 = x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2
nos dos son iguales.
m) x4 + 4 y 4 = x2 − 2 xy + 2 y 2 x2 + 2 xy + 2 y 2
iii) Si Q3 + R2 < 0, las raı́ces son reales y diferentes.
1
,3. Funciones Trigonométricas. cos3 (A) = 3
4 cos(A) + 1
4 cos(3A)
4 3 1 1
3.1. Relaciones entre Funciones Trigo- sen (A) = 8 − 2 cos(2A) + 8 cos(4A)
nométricas. 3 1 1
cos4 (A) = 8 + 2 cos(2A) + 8 cos(4A)
1 5 5 1
csc(A) = sen2 (A) + cos2 (A) = 1 sen5 (A) = 8 sen(A) − 16 sen(3A) + 16 sen(5A)
sen(A)
5 5 1
cos5 (A) = 8 cos(A) + 16 cos(3A) + 16 cos(5A)
1 2 2
sec(A) = sec (A) − tan (A) = 1
cos(A)
3.3. Suma, Diferencia y Producto las Funcio-
sen(A) nes Trigonométricas.
tan(A) = csc2 (A) − cot2 (A) = 1 A+B
A−B
cos(A) sen(A) + sen(B) = 2 sen 2 cos 2
A−B A+B
cos(A) 1 sen(A) − sen(B) = 2 sen 2 cos 2
cot(A) = =
sen(A) tan(A) A+B
A−B
cos(A) + cos(B) = 2 cos 2 cos 2
A+B B−A
cos(A) − cos(B) = 2 sen 2 sen 2
3.2. Potencias de Funciones Trigonométricas.
1
sen(A) sen(B) = 2 cos(A − B) − cos(A + B)
1 1
sen2 (A) = 2 − 2 cos(2A)
1
cos(A) cos(B) = 2 cos(A − B) + cos(A + B)
1 1
cos2 (A) = 2 + 2 cos(2A)
1
sen(A) cos(B) = 2 sen(A − B) + sen(A + B)
3 3 1
sen (A) = 4 sen(A) − 4 sen(3A)
4. Funciones Hiperbólicas.
ex − e−x 2
Seno hiperbólico de x = senh(x) = Cosecante hiperbólica de x = csch(x) =
2 ex − e−x
ex + e−x 2
Coseno hiperbólico de x = cosh(x) = Secante hiperbólica de x = sech(x) =
2 ex + e−x
ex − e−x ex + e−x
Tangente hiperbólica de x = tanh(x) = Cotangente hiperbólica de x = coth(x) =
ex + e−x ex − e−x
4.1. Relación entre las Funciones Hiperbólicas.
senh(x) 1 cosh2 (x) − senh2 (x) = 1
tanh(x) = sech(x) =
cosh(x) cosh(x)
sech2 (x) + tanh2 (x) = 1
1
1 cosh(x) csch(x) =
coth(x) = = senh(x) coth2 (x) − csch2 (x) = 1
tanh(x) senh(x)
2
, Formulario de Cálculo. Funciones Trigonométricas:
Función: Su Derivada:
Derivadas. f = sen(u) f ′ = cos(u) · u′
f = cos(u) f ′ = − sen(u) · u′
En este formulario: k, c ∈ R son constantes reales, f = f (x),
u = u(x) y v = v(x) son funciones que dependen de x. f = tan(u) f ′ = sec2 (u) · u′
f = csc(u) f ′ = − csc(u) cot(u) · u′
Fórmulas Básicas:
f = sec(u) f ′ = sec(u) tan(u) · u′
Función: Su Derivada:
f = cot(u) f ′ = − csc2 (u) · u′
f =k f′ = 0
Linealidad de la derivada:
f =k·u f ′ = k · u′ Funciones Trigonométricas Inversas:
Función: Su Derivada:
f =u±v f ′ = u′ ± v ′ u′
f = arc sen(u) f′ = √ ; |u| < 1
′ ′ ′ 1 − u2
f =k·u±c·v f =k·u ±c·v
u′
Regla del Producto: f = arc cos(u) f′ = −√ ; |u| < 1
1 − u2
f =u·v f ′ = u · v ′ + v · u′ u′
f = arctan(u) f′ =
1 + u2
Regla del Cociente:
u′
u v · u′ − u · v ′ f = arccsc(u) f′ = − √
f= f′ = u u2 − 1
v v2
u′
Regla de la Cadena (Composición de funciones) f = arcsec(u) f′ = √ ; |u| > 1
u u2 − 1
f = u(x) ◦ v(x) f ′ = [u(v(x))]′ · v ′ (x) u′
f = arccot(u) f′ = − ; |u| > 1
1 + u2
Regla de la Potencia:
f = vn f ′ = n · v n−1 · v ′
f = k · vn f ′ = k · n · v n−1 · v ′ Funciones Hiperbólicas:
Función: Su Derivada:
Funciones Exponenciales:
f = senh(u) f ′ = cosh(u) · u′
f = eu f ′ = eu · u ′
f = cosh(u) f ′ = senh(u) · u′
f = au f ′ = au · ln(a) · u′
f = tanh(u) f ′ = sech2 (u) · u′
Funciones Logarı́tmicas:
f = csch(u) f ′ = −csch(u) coth(u) · u′
′ u′
f = ln(u) f =
u f = sech(u) f ′ = −sech(u) tanh(u) · u′
u′
f = loga (u) f′ = f = coth(u) f ′ = −csch2 (u) · u′
u · ln(a)
Una Función elevada a otra Función:
v · u′
v ′ v ′
f =u f = u v · ln(u) +
u
3
