MATEMÁTICA I - FECHA: 8/5/19 TM
Resolución tema *
1) Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). En caso de ser (F), justifique en el
reverso de la hoja con un contraejemplo.
1 punto
.
F a) Si { n} y {bn} son sucesiones divergentes, entonces a n es siempre una sucesión divergente.
a
bn
a
Por ejemplo, { n}= {3𝑛 + 1} a {bn} = {𝑛 + 4} y n 3
bn
1
F b) Toda sucesión convergente es monótona. Por ejemplo, (−1)𝑛 𝑛 converge a cero y no es monótona.
2) Indique con una cruz la única opción correcta:
1𝑥−2
1
3 puntos
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2 𝑥3 −8
=
-1/2 -1/48 X 0 1/48 Ninguna de las anteriores
Resolución a)
1 1 1.2 1.x
2 x 1
lím x 2 0 lím 2. x lím lím (1). (2 x) 1
. 3 .
x 2 x 8 0 x 2 x 8
3 3
x 2 2.x x 8 x 2 2.x ( x 2).(x 2 x 4)
2
lím (1) 1 −𝟏
. 2
x 2 2.x x 2 x 4 𝟒𝟖
−𝑥 2 +5𝑥−4
2 𝑠𝑖𝑥 ≠ 1
b) Si la función 𝑓(𝑥) = { 𝑘 𝑥 −1 es continua en 𝑥 = 1, entonces:
𝑠𝑖𝑥 = 1
2
𝑘=4 𝑘 = −2 𝑘=3 X 𝑘 = −3/2 Ninguna de las anteriores
Resolución b)
Para que la función f(x) sea continua en x = 1, se deben cumplir las siguientes condiciones:
𝑘
i) ∃ f(1) =
2
−𝑥 2 +5𝑥−4 0 (−1).(𝑥−1).(𝑥−4) (−1).(𝑥−4) 3
ii) ∃ lim 𝑓(𝑥) = lim = = lim = lim =
𝑥→1 𝑥→1 𝑥 2 −1 0 𝑥→1 (𝑥−1).(𝑥+1) 𝑥→1 𝑥+1 2
𝑘 3
iii) = → 𝒌 = 𝟑
2 2
c) Si 𝑓(𝑥) = √9 + 𝑥 − 3 y 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 son infinitésimos equivalentes para 𝑥 → 0, entonces el valor de 𝑎 es:
1/6 X 1/4 1 0 Ninguna de las anteriores
𝑓(𝑥) √9+𝑥−3 0 √9+𝑥−3 √9+𝑥+3 9+𝑥−9 𝑥 1 1
Resolución c): lim = lim = = lim ( ) = lim = lim = lim = 𝒄𝒐𝒏𝒂 ≠ 𝟎
𝑥→0 𝑔(𝑥) 𝑥→0 𝑎𝑥 0 𝑥→0 𝑎𝑥 √9+𝑥+3 𝑥→0 𝑎𝑥(√9+𝑥+3) 𝑥→0 𝑎𝑥(√9+𝑥+3) 𝑥→0 𝑎(√9+𝑥+3) 𝑎6
𝑓(𝑥) 1 𝟏
Si 𝑓(𝑥)~𝑔(𝑥)𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑥 → 0𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim = 1, 𝑝𝑜𝑟𝑙𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜1 = ⇒ 𝒂 =
𝑥→0 𝑔(𝑥) 𝑎6 𝟔
3) Observando el gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥),complete sobre las líneas de puntos para que resulten proposiciones
verdaderas:
Resoluciones, por observación del gráfico y aplicaciones de propiedades de 1 punto
Límite de una función:
a) Si lim𝑓(𝑥) y 𝑓(𝑘)existen y 𝑓(𝑥)no es continua en 𝑥 = 𝑘,
𝑥→𝑘
entonces 𝑘 =… -1,5
Resolución tema *
1) Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). En caso de ser (F), justifique en el
reverso de la hoja con un contraejemplo.
1 punto
.
F a) Si { n} y {bn} son sucesiones divergentes, entonces a n es siempre una sucesión divergente.
a
bn
a
Por ejemplo, { n}= {3𝑛 + 1} a {bn} = {𝑛 + 4} y n 3
bn
1
F b) Toda sucesión convergente es monótona. Por ejemplo, (−1)𝑛 𝑛 converge a cero y no es monótona.
2) Indique con una cruz la única opción correcta:
1𝑥−2
1
3 puntos
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2 𝑥3 −8
=
-1/2 -1/48 X 0 1/48 Ninguna de las anteriores
Resolución a)
1 1 1.2 1.x
2 x 1
lím x 2 0 lím 2. x lím lím (1). (2 x) 1
. 3 .
x 2 x 8 0 x 2 x 8
3 3
x 2 2.x x 8 x 2 2.x ( x 2).(x 2 x 4)
2
lím (1) 1 −𝟏
. 2
x 2 2.x x 2 x 4 𝟒𝟖
−𝑥 2 +5𝑥−4
2 𝑠𝑖𝑥 ≠ 1
b) Si la función 𝑓(𝑥) = { 𝑘 𝑥 −1 es continua en 𝑥 = 1, entonces:
𝑠𝑖𝑥 = 1
2
𝑘=4 𝑘 = −2 𝑘=3 X 𝑘 = −3/2 Ninguna de las anteriores
Resolución b)
Para que la función f(x) sea continua en x = 1, se deben cumplir las siguientes condiciones:
𝑘
i) ∃ f(1) =
2
−𝑥 2 +5𝑥−4 0 (−1).(𝑥−1).(𝑥−4) (−1).(𝑥−4) 3
ii) ∃ lim 𝑓(𝑥) = lim = = lim = lim =
𝑥→1 𝑥→1 𝑥 2 −1 0 𝑥→1 (𝑥−1).(𝑥+1) 𝑥→1 𝑥+1 2
𝑘 3
iii) = → 𝒌 = 𝟑
2 2
c) Si 𝑓(𝑥) = √9 + 𝑥 − 3 y 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 son infinitésimos equivalentes para 𝑥 → 0, entonces el valor de 𝑎 es:
1/6 X 1/4 1 0 Ninguna de las anteriores
𝑓(𝑥) √9+𝑥−3 0 √9+𝑥−3 √9+𝑥+3 9+𝑥−9 𝑥 1 1
Resolución c): lim = lim = = lim ( ) = lim = lim = lim = 𝒄𝒐𝒏𝒂 ≠ 𝟎
𝑥→0 𝑔(𝑥) 𝑥→0 𝑎𝑥 0 𝑥→0 𝑎𝑥 √9+𝑥+3 𝑥→0 𝑎𝑥(√9+𝑥+3) 𝑥→0 𝑎𝑥(√9+𝑥+3) 𝑥→0 𝑎(√9+𝑥+3) 𝑎6
𝑓(𝑥) 1 𝟏
Si 𝑓(𝑥)~𝑔(𝑥)𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑥 → 0𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim = 1, 𝑝𝑜𝑟𝑙𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜1 = ⇒ 𝒂 =
𝑥→0 𝑔(𝑥) 𝑎6 𝟔
3) Observando el gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥),complete sobre las líneas de puntos para que resulten proposiciones
verdaderas:
Resoluciones, por observación del gráfico y aplicaciones de propiedades de 1 punto
Límite de una función:
a) Si lim𝑓(𝑥) y 𝑓(𝑘)existen y 𝑓(𝑥)no es continua en 𝑥 = 𝑘,
𝑥→𝑘
entonces 𝑘 =… -1,5
