Se tendrá entonces una ecuación diferencial de primer orden, identificamos que es una
ecuación diferencial de primer orden homogénea implícita, para demostrar esto
simplificamos primero la ecuación
( x− y )
y'=
x
y
y ' =1−
x
Para la resolución de este ejercicio realizamos el cambio de variable
y
u=
x
y=ux
dy '
=u x +u
dx
Reemplazamos en nuestra ecuación:
u' x +u=1−u
du
x=1−2u
dx
xdu=( 1−2 u ) dx
du dx
=
1−2 u x
Teniendo así la ecuación procedemos a integrar
du dx
∫ 1−2 u =∫ x
−1
ln |1−2u|+ C=ln |x|+C
2
| |=ln|x|+C
−1
2
ln ( 1−2u )
1
= xC
√1−2u
( )
2
1 2
=( xC )
√ 1−2 u
1
=x 2 C
1−2 u
, 2 2
1=x C−2u x C
Una vez de esta forma reemplazamos el valor de u al valor original
1=x 2 C−2 ( xy ) x C
2
1=x ( C ( x−2 y ) )
C
=x−2 y
x
C
−x=−2 y
x
C x
y= +
x 2
Luego para hallar el valor de la constante, si la reemplazamos normalmente nos queda
una indeterminación, entonces primero despejamos bien la ecuación y luego
reemplazamos el valor de x
(x ¿¿ 2+ C)
0= ¿
2x
0=( 0 )2 +C
C=0
Quedándonos como solución:
x
y=
2
Ahora se mostrará la resolución del ejercicio en Matlab, para esto, se realizó de dos maneras:
en la primera se utilizó el comando ode45 para la resolución del ejercicio, sin embargo, este no
fue suficiente puesto que al graficar la solución se obtendrá una gráfica muy parecida a una
función de logaritmo acortado, sin embargo esta grafica no es correcta pues no se cumple la
condición de y(0)=0, pues cuando y=0, x tiene un valor 1 lo cual no es correcto, para esto se
implementó un código propio el cual se apoya de la parte analítica para poder satisfacer la
condición inicial y teniendo una gráfica más apegada a la solución real:
ecuación diferencial de primer orden homogénea implícita, para demostrar esto
simplificamos primero la ecuación
( x− y )
y'=
x
y
y ' =1−
x
Para la resolución de este ejercicio realizamos el cambio de variable
y
u=
x
y=ux
dy '
=u x +u
dx
Reemplazamos en nuestra ecuación:
u' x +u=1−u
du
x=1−2u
dx
xdu=( 1−2 u ) dx
du dx
=
1−2 u x
Teniendo así la ecuación procedemos a integrar
du dx
∫ 1−2 u =∫ x
−1
ln |1−2u|+ C=ln |x|+C
2
| |=ln|x|+C
−1
2
ln ( 1−2u )
1
= xC
√1−2u
( )
2
1 2
=( xC )
√ 1−2 u
1
=x 2 C
1−2 u
, 2 2
1=x C−2u x C
Una vez de esta forma reemplazamos el valor de u al valor original
1=x 2 C−2 ( xy ) x C
2
1=x ( C ( x−2 y ) )
C
=x−2 y
x
C
−x=−2 y
x
C x
y= +
x 2
Luego para hallar el valor de la constante, si la reemplazamos normalmente nos queda
una indeterminación, entonces primero despejamos bien la ecuación y luego
reemplazamos el valor de x
(x ¿¿ 2+ C)
0= ¿
2x
0=( 0 )2 +C
C=0
Quedándonos como solución:
x
y=
2
Ahora se mostrará la resolución del ejercicio en Matlab, para esto, se realizó de dos maneras:
en la primera se utilizó el comando ode45 para la resolución del ejercicio, sin embargo, este no
fue suficiente puesto que al graficar la solución se obtendrá una gráfica muy parecida a una
función de logaritmo acortado, sin embargo esta grafica no es correcta pues no se cumple la
condición de y(0)=0, pues cuando y=0, x tiene un valor 1 lo cual no es correcto, para esto se
implementó un código propio el cual se apoya de la parte analítica para poder satisfacer la
condición inicial y teniendo una gráfica más apegada a la solución real:
