Financiële rekenkunde
4.1 Inleiding
Bij financiele rekenkunde gaat het om het vaststellen van de geldelijke waarde van schulden en
tegoeden. Interest is de vergoeding die wordt betaald als sprake is van het lenen van een geldbedrag.
4.2 Interest
Interest is de prijs van kapitaal ofwel een vergoeding die ontvangen of betaald wordt voor het lenen
van geldbedragen. Hoogte van deze vergoedingen kent drie compenten:
Marktconforme vergoeding voor de kosten vh gebruik vh kapitaal
Vergoeding voor koopkrachtveries als gevolg van inflatie
Een vergoeding voor bijkomende risico’s
In de financiele wereld betekent interest of rente:
Het geldbedrag dat als vergoeding wordt betaald
Het percentage dat wordt toegepast bij de berekening van dat geldbedrag
Een regelmatig uit te keren serie geldbedragen
Rendement: de opbrengst ve investering, uitgedrukt in een geldbedrag of een percentage
4.3 Enkelvoudige en samengestelde interest
Enkelvoudige interest houdt verband met lineaire groei . De vergoeding wordt voor het lenen van geld
of berekening ve rendement uitsluitend gebaseerd op het beginkapitaal.
* K(n) = K(0) * (1 + r * n )
K(n) = opgebouwde saldo na n perioden
K(0) = beginkapitaal
r = interestperunage (één honderdste vh interestpercentage
Samengestelde interest houdt verband met exponentiële groei. De vergoeding wordt voor het lenen
van geld of de berekening ve rendement juist gebaseerd op het beginkapitaal plus de daarna behaalde
interestbedragen of rendementen.
* K(n) = K(0) * (1 + r)n
Voorbeeld 1:
investeerder heeft een bedrag van 10000 en kan dit investeren in project A(enkelvoudig) en B
(samengesteld). Interestpercentage van 5 en de looptijd bedraagt 5 jaar.
A:
Eind jaar 1: 10000 * ( 1 + 0,05 ) = 10500
Eind jaar 2: 10000 * (1 + 2 * 0,05) = 11000
Eind jaar 3: 10000 * (1 + 3 * 0,05) = 11500
Eind jaar 4: 10000 * (1 + 4 * 0,05) = 12000
Eind jaar 5: 10000 * (1 + 5 * 0,05) = 12500
B:
Eind jaar 1: 10000 *1,05 = 10500
Eind jaar 2: 10000 *1,052 = 11025
Eind jaar 3: 10000 *1,053 = 11576
Eind jaar 4: 10000 4
*1,05 = 12155
Eind jaar 5: 10000 *1,055 = 12763
Voorbeeld 2:
Spaarder zet 2000 op een bank en wilt na 4 jaar en drie maanden het terughebben. Interestpercentage
bedraagt 4,4. De bank keert gehele jaren rente uit obv samengestelde interest, maar over delen van
een jaar obv enkelvoudige interest. Hoe hoog zal het bedrag zijn?
2000 * 1,0444 = 2375,92 euro. Over dit bedrag wordt vervolgens 3/12, dus ¼ deel van 4,4% vergoed,
dus eindbedrag is 2375,92 * (1 + 0,044 * ¼) = 2402,06 euro. Dus 402,06 uitgekeerde rente.
4.4 Rekenkundig en meetkundig gemiddelde
Dividend is een regelmatig uit te keren vergoeding voor de bezitters van aandelen. Als de dividenden
worden toegevoegd aan de waarde van de belegging is sprake van samengestelde interest of
stockdividend: het uitgekeerde dividend wordt meteen omgezet in aandelen en toegevoegd aan het
totale aandelenbezit vd betreffende belegger. Wordt het dividend uitgekeerd in een geldbedrag, dan
wordt het niet toegevoegd aan het aandelenkapitaal en is er dus sprake van enkelvoudige interest.
, Voorbeeld:
belegger heeft afgelopen 6 jaar de volgende jaarrendementen behaald: 5,8%; 7,7%; 8,4%; 4,9%; -3,5%
en 0,1%. Totaal vd rendementen is in het geval van enkelvoudige interest gelijk aan 5,8 + 7,7 + 8,4 +
4,9 – 3,5 + 0,1 = 23,4%. In het geval van samengestelde interest is het 1,058 * 1,077 * 1,084 * 1,049 *
0,963 * 1,001 = 1,2516, dus een rendement van 25,2%.
Jaargemiddelde vd behaalde rendementen:
Enkelvoudig: x = 5,8 + 7,7 + 8,4 + 4,9 – 3,5 + 0,1 = 3,8% lineair en rekenkundig
6
Samengesteld: 1+ x = 6 √ 1,054∗1,077∗1,084∗1,049∗0,965∗1,001 = 1,038, dus 3,8%
exponentieel en meetkundig
4.5 Gelijkwaardige percentages
Om van 0,8% over vier weken te vergelijken op jaarbasis moet je het effectieve-interestpercentage op
jaarbasis berekenen. De groeifactor is 1,008. Over een jaar gerekend zijn er 52/4 = 13 perioden, dus de
groeifactor op jaarbasis bedraagt 1,00813 = 1,10914. De effectieve rente per jaar bedraagt 10,91%. Je
kan zeggen dat 0,8% en 10,91% gelijkwaardige percentages zijn.
Voorbeeld 1:
Een geldlener is 4,5% interest op jaarbasis verschuldigd aan de bank. Er wordt niet op de lening
afgelost. Bank brengt de geldlener maandelijks een twaalfde deel vd jaarlast in rekening. Geldlener
moet dus 4,5/12 = 0,375% betalen maandelijks en groeifactor bedraagt 1,00375. Jaarbasis is de
groeifactor gelijk aan 1,0037512 = 1,0459, dus de effectieve interest op jaarbasis bedraagt 4,59% en bij
normale interest 4,5%
Voorbeeld 2:
Met welk effectief maandpercentage komt een percentage van 9,8 per jaar overeen?
Groeifactor is 1,098 per jaar, dus per maand: 1,0981/12 = 1,00782, dus een effectief maandpercentage
van 0,782.
Voorbeeld 3:
Met welk effectief jaarpercentage komt een percentage van 1,2 per 4 weken overeen?
Groeifactor per vier weken bedraagt 1,012. Per jaar is dit 1,012 13 = 1,1677, dus een effectief
jaarpercentage van 16,77%
4.6 Eindwaarde en contante waarde
Als een spaarsaldo wordt berekend over een bepaalde looptijd, is er sprake van de eindwaarde vh
ingelegde kapitaal. Andere termen voor eindewaarde (EW) zijn toekomstige waarde (TW) en future
value (FV).
Voorbeeld1:
Spaarder heeft drie jaar geleden een spaardeposito afgesloten voor een bedrag van €5500 met een
looptijd van 4 jaar en 5 maanden op basis van 3,8% (samengestelde) interest.
EW = 5500 * (1,038) 4,(5/12)
Het terugrekenen van een geldbedrag naar de huidige waarde heet contante waarde (CW). Ook wel
aangeduid als huidige waarde (HW) en present value (PV). CW= K(n) * (1 + r) -n
Voorbeeld 2:
Schuld van 84000 vervalt over zes jaar. De interest bedraagt 4,5% op jaarbasis.
CW = 84000 * 1 = ofwel 8400 * 1,045 -6 = 64503.
(1,045) 6
Voorbeeld 3:
Een investeerder wil nagaan of een investering in een project de moeite waard is. Hij heeft 175000
beschikbaar en wil iig 7% rendement halen uit zijn investering. Verwachte opbrengsten zijn 60000,
80000 en 70000.
CW = 60000 + 80000 + 70000 = 183091. Dus de investering is rendabel en voldoet de eisen vd
investeerder
1,07 1,072 1,073
Voorbeeld 4:
Hartmann heeft 5 jaar geleden een bedrag gestort van 36400. Bank vergoed eerste 3 jaar een rente
4.1 Inleiding
Bij financiele rekenkunde gaat het om het vaststellen van de geldelijke waarde van schulden en
tegoeden. Interest is de vergoeding die wordt betaald als sprake is van het lenen van een geldbedrag.
4.2 Interest
Interest is de prijs van kapitaal ofwel een vergoeding die ontvangen of betaald wordt voor het lenen
van geldbedragen. Hoogte van deze vergoedingen kent drie compenten:
Marktconforme vergoeding voor de kosten vh gebruik vh kapitaal
Vergoeding voor koopkrachtveries als gevolg van inflatie
Een vergoeding voor bijkomende risico’s
In de financiele wereld betekent interest of rente:
Het geldbedrag dat als vergoeding wordt betaald
Het percentage dat wordt toegepast bij de berekening van dat geldbedrag
Een regelmatig uit te keren serie geldbedragen
Rendement: de opbrengst ve investering, uitgedrukt in een geldbedrag of een percentage
4.3 Enkelvoudige en samengestelde interest
Enkelvoudige interest houdt verband met lineaire groei . De vergoeding wordt voor het lenen van geld
of berekening ve rendement uitsluitend gebaseerd op het beginkapitaal.
* K(n) = K(0) * (1 + r * n )
K(n) = opgebouwde saldo na n perioden
K(0) = beginkapitaal
r = interestperunage (één honderdste vh interestpercentage
Samengestelde interest houdt verband met exponentiële groei. De vergoeding wordt voor het lenen
van geld of de berekening ve rendement juist gebaseerd op het beginkapitaal plus de daarna behaalde
interestbedragen of rendementen.
* K(n) = K(0) * (1 + r)n
Voorbeeld 1:
investeerder heeft een bedrag van 10000 en kan dit investeren in project A(enkelvoudig) en B
(samengesteld). Interestpercentage van 5 en de looptijd bedraagt 5 jaar.
A:
Eind jaar 1: 10000 * ( 1 + 0,05 ) = 10500
Eind jaar 2: 10000 * (1 + 2 * 0,05) = 11000
Eind jaar 3: 10000 * (1 + 3 * 0,05) = 11500
Eind jaar 4: 10000 * (1 + 4 * 0,05) = 12000
Eind jaar 5: 10000 * (1 + 5 * 0,05) = 12500
B:
Eind jaar 1: 10000 *1,05 = 10500
Eind jaar 2: 10000 *1,052 = 11025
Eind jaar 3: 10000 *1,053 = 11576
Eind jaar 4: 10000 4
*1,05 = 12155
Eind jaar 5: 10000 *1,055 = 12763
Voorbeeld 2:
Spaarder zet 2000 op een bank en wilt na 4 jaar en drie maanden het terughebben. Interestpercentage
bedraagt 4,4. De bank keert gehele jaren rente uit obv samengestelde interest, maar over delen van
een jaar obv enkelvoudige interest. Hoe hoog zal het bedrag zijn?
2000 * 1,0444 = 2375,92 euro. Over dit bedrag wordt vervolgens 3/12, dus ¼ deel van 4,4% vergoed,
dus eindbedrag is 2375,92 * (1 + 0,044 * ¼) = 2402,06 euro. Dus 402,06 uitgekeerde rente.
4.4 Rekenkundig en meetkundig gemiddelde
Dividend is een regelmatig uit te keren vergoeding voor de bezitters van aandelen. Als de dividenden
worden toegevoegd aan de waarde van de belegging is sprake van samengestelde interest of
stockdividend: het uitgekeerde dividend wordt meteen omgezet in aandelen en toegevoegd aan het
totale aandelenbezit vd betreffende belegger. Wordt het dividend uitgekeerd in een geldbedrag, dan
wordt het niet toegevoegd aan het aandelenkapitaal en is er dus sprake van enkelvoudige interest.
, Voorbeeld:
belegger heeft afgelopen 6 jaar de volgende jaarrendementen behaald: 5,8%; 7,7%; 8,4%; 4,9%; -3,5%
en 0,1%. Totaal vd rendementen is in het geval van enkelvoudige interest gelijk aan 5,8 + 7,7 + 8,4 +
4,9 – 3,5 + 0,1 = 23,4%. In het geval van samengestelde interest is het 1,058 * 1,077 * 1,084 * 1,049 *
0,963 * 1,001 = 1,2516, dus een rendement van 25,2%.
Jaargemiddelde vd behaalde rendementen:
Enkelvoudig: x = 5,8 + 7,7 + 8,4 + 4,9 – 3,5 + 0,1 = 3,8% lineair en rekenkundig
6
Samengesteld: 1+ x = 6 √ 1,054∗1,077∗1,084∗1,049∗0,965∗1,001 = 1,038, dus 3,8%
exponentieel en meetkundig
4.5 Gelijkwaardige percentages
Om van 0,8% over vier weken te vergelijken op jaarbasis moet je het effectieve-interestpercentage op
jaarbasis berekenen. De groeifactor is 1,008. Over een jaar gerekend zijn er 52/4 = 13 perioden, dus de
groeifactor op jaarbasis bedraagt 1,00813 = 1,10914. De effectieve rente per jaar bedraagt 10,91%. Je
kan zeggen dat 0,8% en 10,91% gelijkwaardige percentages zijn.
Voorbeeld 1:
Een geldlener is 4,5% interest op jaarbasis verschuldigd aan de bank. Er wordt niet op de lening
afgelost. Bank brengt de geldlener maandelijks een twaalfde deel vd jaarlast in rekening. Geldlener
moet dus 4,5/12 = 0,375% betalen maandelijks en groeifactor bedraagt 1,00375. Jaarbasis is de
groeifactor gelijk aan 1,0037512 = 1,0459, dus de effectieve interest op jaarbasis bedraagt 4,59% en bij
normale interest 4,5%
Voorbeeld 2:
Met welk effectief maandpercentage komt een percentage van 9,8 per jaar overeen?
Groeifactor is 1,098 per jaar, dus per maand: 1,0981/12 = 1,00782, dus een effectief maandpercentage
van 0,782.
Voorbeeld 3:
Met welk effectief jaarpercentage komt een percentage van 1,2 per 4 weken overeen?
Groeifactor per vier weken bedraagt 1,012. Per jaar is dit 1,012 13 = 1,1677, dus een effectief
jaarpercentage van 16,77%
4.6 Eindwaarde en contante waarde
Als een spaarsaldo wordt berekend over een bepaalde looptijd, is er sprake van de eindwaarde vh
ingelegde kapitaal. Andere termen voor eindewaarde (EW) zijn toekomstige waarde (TW) en future
value (FV).
Voorbeeld1:
Spaarder heeft drie jaar geleden een spaardeposito afgesloten voor een bedrag van €5500 met een
looptijd van 4 jaar en 5 maanden op basis van 3,8% (samengestelde) interest.
EW = 5500 * (1,038) 4,(5/12)
Het terugrekenen van een geldbedrag naar de huidige waarde heet contante waarde (CW). Ook wel
aangeduid als huidige waarde (HW) en present value (PV). CW= K(n) * (1 + r) -n
Voorbeeld 2:
Schuld van 84000 vervalt over zes jaar. De interest bedraagt 4,5% op jaarbasis.
CW = 84000 * 1 = ofwel 8400 * 1,045 -6 = 64503.
(1,045) 6
Voorbeeld 3:
Een investeerder wil nagaan of een investering in een project de moeite waard is. Hij heeft 175000
beschikbaar en wil iig 7% rendement halen uit zijn investering. Verwachte opbrengsten zijn 60000,
80000 en 70000.
CW = 60000 + 80000 + 70000 = 183091. Dus de investering is rendabel en voldoet de eisen vd
investeerder
1,07 1,072 1,073
Voorbeeld 4:
Hartmann heeft 5 jaar geleden een bedrag gestort van 36400. Bank vergoed eerste 3 jaar een rente
