Samenvatting Rekenen/Wiskunde kwartiel 2.1
H1, samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
Wiskundig gezien bestaat er een aantal overeenkomsten tussen de domeinen verhoudingen, gebroken getallen en
procenten. Zo kun je bij ieder domein een relatief aspect onderscheiden, zijn kommagetallen decimale breuken en
kunnen breuken en procenten allebei een verhouding aangeven. Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel
en een geheel. Een percentage geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheeld dat op honderd is gesteld.
Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen. Bijv. er zitten 536
studenten op deze pabo. Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar
je niet direct het daadwerkelijke getal of aantal kunt aflezen. Bijv. 1 op de 4 pabostudenten is man. Om dat te
bepalen, heb je het absolute aantal pabostudenten nodig. In dit vb. is het absolute aantal pabostudenten 536.
Daarvan is 1 op de 4 man. Dus 536 : 4 ofwel 134. Voor de zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het
onderscheid tussen absoluut en relatief van groot belang. Zonder begrip van dit onderscheid kun je namelijk veel
informatie uit de krant en het nieuws niet goed begrijpen. Om kinderen greep te laten krijgen op dit cruciale
onderscheid, is het nodig om absolute en relatieve gegevens van elkaar te onderscheiden én met elkaar in verband
te brengen. Dit kan bijv. met het strookmodel. Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar
halen, is het – vooral in het begin van het leerproces – verstandig de getallen benoemd te noteren. Bijv.: zoveel keer
raak, of zoveel euro. Dit helpt om het onderscheid tussen de absolute en relatieve gegevens duidelijk te houden. Om
goed te kunnen redeneren en rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen moeten kinderen
greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen deze sub domeinen. In de loop van groep 7 en 8 leren kinderen
ook om de domeinen door elkaar heen te gebruiken. Voor sommige kinderen is dit best lastig, met name als
gebroken getallen, verhoudingen en procenten (en de bewerkingen ermee) voor hen nog onvoldoende betekenis
hebben. De leerkracht moet dus bewust aandacht besteden aan betekenisverlening. Om kinderen greep te laten
krijgen op de betekenissen van verhoudingen, procenten en gebroken getallen, besteden reken-wiskundemethodes
aandacht aan de verschillende verschijningsvormen ervan. Om de samenhang te kunnen doorzien, is het ook nodig
dat de kinderen leren dat de domeinen in de realiteit door elkaar voorkomen. Daarnaast leren kinderen de betekenis
van bewerkingen met verhoudingen en breuken te doorzien. Zodoende kunnen kinderen ook onderlinge relaties
beredeneren, waardoor ze deze niet allemaal afzonderlijk leren, alsof het losstaande feitjes zouden zijn. Breuken en
kommagetallen kennen zowel overeenkomsten als verschillen. In betekenis komen ze met elkaar overeen: het zijn
allebei gebroken getallen. De notatie verschilt echter: kommagetallen lijken juist op hele getallen en niet op
breuken. Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en breuken allemaal rationele getallen met
verschillende notatiewijzen. Voor kinderen levert dit wel wat moeilijkheden op. Qua verschijningsvorm in de realiteit
is de opvallendste overeenkomst dat je zowel breuken als kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. Verder zijn er
vooral verschillen: breuken komen bijv. vaker voor als deel van een geheel en deel van een hoeveelheid;
kommagetallen bijna nooit. Alle breuken kunnen ook worden genoteerd als kommagetallen. Bij onvoldoende begrip
halen kinderen dit soort getallen al gauw door elkaar. Ze denken bijv. dat 1/5 hetzelfde is als 0,5. Om kinderen dit
soort relaties inzichtelijk te laten afleiden, kun je naast het strookmodel ook gebruikmaken van de verschijningsvorm
meetgetal (van zowel breuk als kommagetal). Bijv. met behulp van geld. Een moeilijkheid hierbij is het gegeven dat
het rekengetal 0,10 = 0,01. En op die manier nullen toevoegen, mag juist niet. Een manier om hier inzichtelijk mee
om te gaan, is het gebruik van verschillende ondermaten die de kinderen zelf kunnen beredeneren. Bijvoorbeeld: 0,1
meter is hetzelfde als 1 decimeter. 1 decimeter is even lang als 10 centimeter, en daarom mag je ook schrijven als
0,10 meter. Tevens zijn er ook repeterende breuken, denk aan bijv. 1/3, als je dit omzet naar een kommagetal krijg je
0,33333333333. De getallen herhalen zich dus op een bepaald punt. Deze sliert (van 0,3333) noemen we ook wel het
repetendum. Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een breuk als absoluut getal kun je
weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een heel getal. Een operator doet iets met een getal, hoeveelheid
of prijs. Een breuk kan zowel een absoluut als ene relatief gegeven presenteren. Bij procenten is dit anders: een
percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is dus altijd een operator. Allerlei relaties moeten uiteindelijk in
de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn. Dit is parate feitenkennis. Dit soort weetjes moet snel beschikbaar
zijn, zodat kinderen ze flexibel kunnen toepassen bij het redeneren en rekenen met breuken, verhoudingen,
procenten en kommagetallen. Sommige weetjes zijn overigens al bekend vanuit informele voorkennis. Veel jonge
kinderen weten als dat 50 % de helft is. Deze voorkennis omvat vaak al meer dan je zou denken. In de bovenbouw
H1, samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
Wiskundig gezien bestaat er een aantal overeenkomsten tussen de domeinen verhoudingen, gebroken getallen en
procenten. Zo kun je bij ieder domein een relatief aspect onderscheiden, zijn kommagetallen decimale breuken en
kunnen breuken en procenten allebei een verhouding aangeven. Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel
en een geheel. Een percentage geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheeld dat op honderd is gesteld.
Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen. Bijv. er zitten 536
studenten op deze pabo. Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar
je niet direct het daadwerkelijke getal of aantal kunt aflezen. Bijv. 1 op de 4 pabostudenten is man. Om dat te
bepalen, heb je het absolute aantal pabostudenten nodig. In dit vb. is het absolute aantal pabostudenten 536.
Daarvan is 1 op de 4 man. Dus 536 : 4 ofwel 134. Voor de zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het
onderscheid tussen absoluut en relatief van groot belang. Zonder begrip van dit onderscheid kun je namelijk veel
informatie uit de krant en het nieuws niet goed begrijpen. Om kinderen greep te laten krijgen op dit cruciale
onderscheid, is het nodig om absolute en relatieve gegevens van elkaar te onderscheiden én met elkaar in verband
te brengen. Dit kan bijv. met het strookmodel. Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar
halen, is het – vooral in het begin van het leerproces – verstandig de getallen benoemd te noteren. Bijv.: zoveel keer
raak, of zoveel euro. Dit helpt om het onderscheid tussen de absolute en relatieve gegevens duidelijk te houden. Om
goed te kunnen redeneren en rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen moeten kinderen
greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen deze sub domeinen. In de loop van groep 7 en 8 leren kinderen
ook om de domeinen door elkaar heen te gebruiken. Voor sommige kinderen is dit best lastig, met name als
gebroken getallen, verhoudingen en procenten (en de bewerkingen ermee) voor hen nog onvoldoende betekenis
hebben. De leerkracht moet dus bewust aandacht besteden aan betekenisverlening. Om kinderen greep te laten
krijgen op de betekenissen van verhoudingen, procenten en gebroken getallen, besteden reken-wiskundemethodes
aandacht aan de verschillende verschijningsvormen ervan. Om de samenhang te kunnen doorzien, is het ook nodig
dat de kinderen leren dat de domeinen in de realiteit door elkaar voorkomen. Daarnaast leren kinderen de betekenis
van bewerkingen met verhoudingen en breuken te doorzien. Zodoende kunnen kinderen ook onderlinge relaties
beredeneren, waardoor ze deze niet allemaal afzonderlijk leren, alsof het losstaande feitjes zouden zijn. Breuken en
kommagetallen kennen zowel overeenkomsten als verschillen. In betekenis komen ze met elkaar overeen: het zijn
allebei gebroken getallen. De notatie verschilt echter: kommagetallen lijken juist op hele getallen en niet op
breuken. Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en breuken allemaal rationele getallen met
verschillende notatiewijzen. Voor kinderen levert dit wel wat moeilijkheden op. Qua verschijningsvorm in de realiteit
is de opvallendste overeenkomst dat je zowel breuken als kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. Verder zijn er
vooral verschillen: breuken komen bijv. vaker voor als deel van een geheel en deel van een hoeveelheid;
kommagetallen bijna nooit. Alle breuken kunnen ook worden genoteerd als kommagetallen. Bij onvoldoende begrip
halen kinderen dit soort getallen al gauw door elkaar. Ze denken bijv. dat 1/5 hetzelfde is als 0,5. Om kinderen dit
soort relaties inzichtelijk te laten afleiden, kun je naast het strookmodel ook gebruikmaken van de verschijningsvorm
meetgetal (van zowel breuk als kommagetal). Bijv. met behulp van geld. Een moeilijkheid hierbij is het gegeven dat
het rekengetal 0,10 = 0,01. En op die manier nullen toevoegen, mag juist niet. Een manier om hier inzichtelijk mee
om te gaan, is het gebruik van verschillende ondermaten die de kinderen zelf kunnen beredeneren. Bijvoorbeeld: 0,1
meter is hetzelfde als 1 decimeter. 1 decimeter is even lang als 10 centimeter, en daarom mag je ook schrijven als
0,10 meter. Tevens zijn er ook repeterende breuken, denk aan bijv. 1/3, als je dit omzet naar een kommagetal krijg je
0,33333333333. De getallen herhalen zich dus op een bepaald punt. Deze sliert (van 0,3333) noemen we ook wel het
repetendum. Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een breuk als absoluut getal kun je
weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een heel getal. Een operator doet iets met een getal, hoeveelheid
of prijs. Een breuk kan zowel een absoluut als ene relatief gegeven presenteren. Bij procenten is dit anders: een
percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is dus altijd een operator. Allerlei relaties moeten uiteindelijk in
de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn. Dit is parate feitenkennis. Dit soort weetjes moet snel beschikbaar
zijn, zodat kinderen ze flexibel kunnen toepassen bij het redeneren en rekenen met breuken, verhoudingen,
procenten en kommagetallen. Sommige weetjes zijn overigens al bekend vanuit informele voorkennis. Veel jonge
kinderen weten als dat 50 % de helft is. Deze voorkennis omvat vaak al meer dan je zou denken. In de bovenbouw
