Probabilidad

Probabilidades
Es la medida de certidumbre de que ocurra un evento. Donde tenemos;

 Probabilidad frecuentista, donde la probabilidad de un suceso es la
frecuencia relativa (hi%) de veces que ocurriría el suceso al realizar
un experimento varias veces.
 Probabilidad subjetiva, grado de certeza que se tiene sobre un suceso
que pueda pasar.

Definiciones necesarias
 Teoría de conjuntos, son letras en mayúsculas para dar un nombre del
conjunto y las letras minúsculas para denotar los elementos de un
conjunto.
 Subconjunto, parte de un conjunto más grande.
 Unión de conjuntos, son todos los elementos de un conjunto más los
elementos de otro conjunto.
 Intersección, elementos que tienen en relación dos conjuntos diferentes.
 Diferencia, son los elementos de un conjunto menos los elementos del
otro conjunto.
 Disconjuntos, son conjuntos que no tienen nada que los una.
 Espacio muestral, se conforma por el conjunto que está formado por
todas las posibilidades de resultados que pueden dar. Este espacio se
denomina como S o E.
o Finito, número exacto de posibilidades
o Infinito, número infinito de posibilidades que pueden dar.
o Infinito no contable, son todos los puntos (números) que existen
en un intervalo.
 Suceso, es un subconjunto del espacio muestral y si tiene un solo punto
se le llamará simple pero si tiene dos o más se le llamará complejo.
1
𝑃(𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑠ó𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑) =
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜
𝑃(𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠) =
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Axiomas de probabilidad
Mutuamente excluyente
Siendo A y B dos conjuntos diferentes que se encuentran en el espacio
muestral. La suma de esta probabilidad será un conjunto mutuamente excluyente
ya que no tienen nada en común.
𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

Ejemplo
La probabilidad de extraer un trébol, un diez o un dos en un juego de cartas.
P(A)=P(extraer un trébol)
P(B)=P(extraer un diez)
P(C)=P(extraer un dos)

, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶)
13 4 4 1 1
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = + + − −0−
52 52 52 52 52
19
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) =
52
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 0,3654
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 36,54%
Existe una probabilidad del 36,54% de extraer A, B y C.

Evento condicional
Siendo A y B dos conjuntos diferentes siendo que la probabilidad de A es
mayor que 0 conociendo la probabilidad de que A suceda tendremos como
fórmula.
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵│A) =
𝑃(𝐴)

Ejemplo
Hallar la probabilidad de que en un lanzamiento de un dado, resulte un
número menor que 4 sabiendo que es impar.
A=Número impar (1, 3, 5)
B=Número menor que 4 (1, 2, 3)
3
𝑃(𝐴) =
6
2
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
6
2
𝑃(𝐵│A) = 6
3
6
12
𝑃(𝐵│A) =
18
𝑃(𝐵│A) = 0,6667

𝑃(𝐵│A) = 66,67%

Eventos independientes
Son sucesos donde uno no afecta la ocurrencia del otro.
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵)

Ejemplo
Se lanzan dos monedas. Hallar la probabilidad de que al lanzar la
primera el resultado sea cara y la segunda sea sello.
Tomando en cuenta que sólo podemos tener cuatro posibilidades