20. Statistik
NORMALVERTEILUNG
WIEDERHOLUNG : STETIGE ZUFALLSVARIABLEN
Beispiel: Es existiert eine Grundgesamtheit von Personen, die im Mittel 37,268 Jahre alt sind. Zufallsexperiment: Wir
ziehen 1000 Stichproben mit je 1000 Personen
DIE NORMALVERTEILUNG
Die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Psychologie ist die Normalverteilung. Sie wurde von C.F.
Gauss „entdeckt“ und war auf den alten 10 DM Scheinen abgebildet. Dort stand auch die Formel der Dichtefunktion
der Normalverteilung:
Die Normalverteilung ist deshalb so wichtig, weil in der Natur sehr viele Merkmale (annähernd) normalverteilt sind.
NORMALVERTEILUNG
Die Normalverteilung ist eine „glockenförmige“ Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und
• ist symmetrisch (a3=0) und
• hat einen „normalen“ Exzess (a4 = 0)
für die gilt:
• Der Mittelwert, Modalwert und Median sind identisch
• Sie nähert sich links und rechts asymptotisch der x-Achse an
• Sie geht von minus unendlich bis plus unendlich
Es gibt unendlich viele Normalverteilungen, die sich in Ihrem Mittelwert und in der Standardabweichung (bzw.
Varianz) unterscheiden
• Der Mittelwert (μ) gibt die Position des „Gipfels“ an.
• Die Standardabweichung (σ) gibt die Breite der Verteilung an.
NORMALVERTEILUNG
, GAUSS'SCHE GLOCKENKURVE: VERTEILUNGSFUNKTION
Die Koeffizienten sind so festgelegt, dass die Fläche zwischen Kurve und Achse für alle μ und σ immer 1 ergibt.
Es gilt:
WAHRSCHEINLICHKEIT IN DER NORMALVERTEILUNG
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Zufallsvariablen x zwischen x1 und x2 liegt ist gegeben durch:
STANDARDNORMALVERTEILUNG
Ein Normalverteilung mit einem Mittelwert μ=0 und einer Streuung von σ=1 heißt Standardnormalverteilung.
Glockenkurve
DIE STANDARDNORMALVERTEILUNG
Interpretation von z-Werten (ungefähre Werte)
Z TRANSFORMATION STANDARDNORMALVERTEILUNG
Werte einer Standardnormalverteilungen können besonders einfach interpretiert werden, da die zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten aus einer Tabelle nachgeschlagen werden können. Jede normalverteilte Variable kann einfach
in eine Standardnormalverteilung transformiert werden (z-Transformation) Die z- Transformation übersetzt die
Rohdatenskala in die Standardskala ( )
Normalverteilung Standard-Normalverteilung
NORMALVERTEILUNG
WIEDERHOLUNG : STETIGE ZUFALLSVARIABLEN
Beispiel: Es existiert eine Grundgesamtheit von Personen, die im Mittel 37,268 Jahre alt sind. Zufallsexperiment: Wir
ziehen 1000 Stichproben mit je 1000 Personen
DIE NORMALVERTEILUNG
Die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Psychologie ist die Normalverteilung. Sie wurde von C.F.
Gauss „entdeckt“ und war auf den alten 10 DM Scheinen abgebildet. Dort stand auch die Formel der Dichtefunktion
der Normalverteilung:
Die Normalverteilung ist deshalb so wichtig, weil in der Natur sehr viele Merkmale (annähernd) normalverteilt sind.
NORMALVERTEILUNG
Die Normalverteilung ist eine „glockenförmige“ Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und
• ist symmetrisch (a3=0) und
• hat einen „normalen“ Exzess (a4 = 0)
für die gilt:
• Der Mittelwert, Modalwert und Median sind identisch
• Sie nähert sich links und rechts asymptotisch der x-Achse an
• Sie geht von minus unendlich bis plus unendlich
Es gibt unendlich viele Normalverteilungen, die sich in Ihrem Mittelwert und in der Standardabweichung (bzw.
Varianz) unterscheiden
• Der Mittelwert (μ) gibt die Position des „Gipfels“ an.
• Die Standardabweichung (σ) gibt die Breite der Verteilung an.
NORMALVERTEILUNG
, GAUSS'SCHE GLOCKENKURVE: VERTEILUNGSFUNKTION
Die Koeffizienten sind so festgelegt, dass die Fläche zwischen Kurve und Achse für alle μ und σ immer 1 ergibt.
Es gilt:
WAHRSCHEINLICHKEIT IN DER NORMALVERTEILUNG
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Zufallsvariablen x zwischen x1 und x2 liegt ist gegeben durch:
STANDARDNORMALVERTEILUNG
Ein Normalverteilung mit einem Mittelwert μ=0 und einer Streuung von σ=1 heißt Standardnormalverteilung.
Glockenkurve
DIE STANDARDNORMALVERTEILUNG
Interpretation von z-Werten (ungefähre Werte)
Z TRANSFORMATION STANDARDNORMALVERTEILUNG
Werte einer Standardnormalverteilungen können besonders einfach interpretiert werden, da die zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten aus einer Tabelle nachgeschlagen werden können. Jede normalverteilte Variable kann einfach
in eine Standardnormalverteilung transformiert werden (z-Transformation) Die z- Transformation übersetzt die
Rohdatenskala in die Standardskala ( )
Normalverteilung Standard-Normalverteilung
