17. STATISTIK WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG
ZUFALLSVARIABLEN
Häufig sind Ereignisse mit gewissen Zahlenwerten verbunden. Beispielsweise ist die Augensumme beim zweimaligen
Würfeln ein solcher Zahlenwert und die Augensumme 5 wird durch 𝐸 = { (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1)} realisiert. In dem
Zusammenhang bezeichnet man die Augensumme als eine Zufallsvariable, die die Werte 2 bis 12 annehmen kann.
Zufallsvariablen werden üblicherweise mit 𝑋, 𝑌 usw. bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine
Zufallsvariable den Wert k annimmt notiert man als 𝑃 (𝑋 = 𝑘) .
RECHENBEISPIEL 1 – ZUFALLSVARIABLEN
Eine Urne enthält fünf weiße und drei rote Kugeln. Es wird dreimal mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Ziehung keine, eine, zwei oder drei rote Kugeln enthält.
Lösung: Es sei 𝑋 die Anzahl der roten Kugeln. 𝑋 = 0, also „keine rote Kugel“, wird durch 𝐸0 = {(𝑤,𝑤,𝑤)} realisiert.
5
Somit ist 𝑃 (𝑋 = 0) = 𝑃 (𝐸0) =( ) ³
8
≈ 0,244 = 24,4%.
𝑋 = 1, d.h. „eine rote Kugel“, wird realisiert durch 𝐸1 = {(𝑟,𝑤,𝑤) , (𝑤,𝑟,𝑤) , (𝑤,𝑤,𝑟)} , also gilt
5 3
𝑃 (𝑋 = 1) = 𝑃 (𝐸1) = 3 ⋅ ( ) ²⋅ ≈ 0,439 = 43,9%.
8 8
Die Ereignismengen zu 𝑋 = 2 und 𝑋 = 3 sind 𝐸2 = {(𝑟,𝑟,𝑤) , (𝑟,𝑤,𝑟) , (𝑤,𝑟,𝑟)} und 𝐸3 = {(𝑟,𝑟,𝑟)} .
Entsprechend gilt:
5 3
𝑃 (𝑋 = 2) = 3 ⋅ ⋅( )² ≈ 0,264 = 26,4% und
8 8
3
𝑃 (𝑋 = 3) =⋅( )³ ≈ 0,053 = 5,3%.
8
RECHENBEISPIEL 2 – ZUFALLSVARIABLEN
Einem Kartenspiel mit 32 Karten werden nacheinander drei Karten ohne Zurücklegen entnommen. Bestimmen Sie
die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Ziehung keine, eine, zwei oder drei Bildkarten (Bube, Dame oder König)
enthält.
Lösung: Es sei 𝑋 die Anzahl der Bildkarten. Dann gilt:
20 19 18
𝑃 (𝑋 = 0) = ⋅ ⋅ ≈ 0,23 = 23%,
32 31 30
12 20 19
𝑃 (𝑋 = 1) = 3 ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 0,46 = 46%,
32 31 30
12 11 20
𝑃 (𝑋 = 2) = ⋅ ⋅ ⋅3 ≈ 0,266 = 26,6% und
32 31 30
12 11 1 0
𝑃 (𝑋 = 3) = ⋅ ⋅ ≈ 0,044 = 4,4%.
32 31 30
ZUFALLSVARIABLEN
Häufig sind Ereignisse mit gewissen Zahlenwerten verbunden. Beispielsweise ist die Augensumme beim zweimaligen
Würfeln ein solcher Zahlenwert und die Augensumme 5 wird durch 𝐸 = { (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1)} realisiert. In dem
Zusammenhang bezeichnet man die Augensumme als eine Zufallsvariable, die die Werte 2 bis 12 annehmen kann.
Zufallsvariablen werden üblicherweise mit 𝑋, 𝑌 usw. bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine
Zufallsvariable den Wert k annimmt notiert man als 𝑃 (𝑋 = 𝑘) .
RECHENBEISPIEL 1 – ZUFALLSVARIABLEN
Eine Urne enthält fünf weiße und drei rote Kugeln. Es wird dreimal mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Ziehung keine, eine, zwei oder drei rote Kugeln enthält.
Lösung: Es sei 𝑋 die Anzahl der roten Kugeln. 𝑋 = 0, also „keine rote Kugel“, wird durch 𝐸0 = {(𝑤,𝑤,𝑤)} realisiert.
5
Somit ist 𝑃 (𝑋 = 0) = 𝑃 (𝐸0) =( ) ³
8
≈ 0,244 = 24,4%.
𝑋 = 1, d.h. „eine rote Kugel“, wird realisiert durch 𝐸1 = {(𝑟,𝑤,𝑤) , (𝑤,𝑟,𝑤) , (𝑤,𝑤,𝑟)} , also gilt
5 3
𝑃 (𝑋 = 1) = 𝑃 (𝐸1) = 3 ⋅ ( ) ²⋅ ≈ 0,439 = 43,9%.
8 8
Die Ereignismengen zu 𝑋 = 2 und 𝑋 = 3 sind 𝐸2 = {(𝑟,𝑟,𝑤) , (𝑟,𝑤,𝑟) , (𝑤,𝑟,𝑟)} und 𝐸3 = {(𝑟,𝑟,𝑟)} .
Entsprechend gilt:
5 3
𝑃 (𝑋 = 2) = 3 ⋅ ⋅( )² ≈ 0,264 = 26,4% und
8 8
3
𝑃 (𝑋 = 3) =⋅( )³ ≈ 0,053 = 5,3%.
8
RECHENBEISPIEL 2 – ZUFALLSVARIABLEN
Einem Kartenspiel mit 32 Karten werden nacheinander drei Karten ohne Zurücklegen entnommen. Bestimmen Sie
die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Ziehung keine, eine, zwei oder drei Bildkarten (Bube, Dame oder König)
enthält.
Lösung: Es sei 𝑋 die Anzahl der Bildkarten. Dann gilt:
20 19 18
𝑃 (𝑋 = 0) = ⋅ ⋅ ≈ 0,23 = 23%,
32 31 30
12 20 19
𝑃 (𝑋 = 1) = 3 ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 0,46 = 46%,
32 31 30
12 11 20
𝑃 (𝑋 = 2) = ⋅ ⋅ ⋅3 ≈ 0,266 = 26,6% und
32 31 30
12 11 1 0
𝑃 (𝑋 = 3) = ⋅ ⋅ ≈ 0,044 = 4,4%.
32 31 30
