Límites

Límites
Un límite es lo más cercano al extremo de un valor que
Estos límites siempre deben
se puede tener. Esta es una función para así obtener el límite
dar un número real.
de donde va la x.
Es una magnitud a la que se acercan progresivamente
los términos de una secuencia infinita de magnitudes.
lim 𝑓(𝑥)
𝑥→1

- Método gráfico; se grafica la función y se inspecciona a que valor se
debe acercar. Esto se inspecciona para ver en qué valor tiene la “y”
mientras sube y se acerca la “x” a 1.
En el caso de tener positivo esa vendrá por la derecha, si es
negativo vendrá por la izquierda.
- Método numérico; Asigna valores en la vecindad que se busca.

X 1 1,1 1,99 2 2,1 2,99
Y 2 2,1 2,99 3 3,1 3,99
Límite lateral
La existencia o no de una función depende de una función de los límites
laterales. Si los límites laterales son iguales, entonces el límite de la función
existe. En el caso contrario el límite no existe.
Para que un límite exista sus límites laterales tienen que ser iguales.

Propiedades
lim 𝑓(𝑐) = 𝑐 ya que c es constante
𝑥→𝑎

lim 𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐. lim 𝑓(𝑥) = 𝑐𝐿
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎

lim 𝑓(𝑥). lim 𝑓(𝑔) = 𝐿. 𝑀
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎

lim 𝑓(𝑥) + lim 𝑔(𝑥) = 𝐿 + 𝑀 = 𝐿 = 𝑎+ ; 𝑀 = 𝑎−
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎

lim 𝑓(𝑥) − lim 𝑔(𝑥) = 𝐿 − 𝑀
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎

lim 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛 (𝑛 ∈ 𝑍 + )
𝑥→𝑎

lim 𝑓(𝑥) 𝐿
lim 𝑥→𝑎 = =𝑀≠0
lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑀


Cálculo analítico de límites
Mientras f(x) sea una función. Si para 𝑥 → 𝑎− ; f(x)=f(a), siendo igual cuando
𝑥 → 𝑎+ se concluye con que el límite de f(x)= f(a)
Este principio consiste en sustituir x=a en la función para encontrar
el límite pero esto sólo será posible si en la función el denominador no es cero
ni raíz par de cantidad subradical negativa.

Estudio riguroso de los límites
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0/|𝑥 − 𝑎| < 𝛿 => |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀

, Para todo épsilon mayor que cero, existe un delta mayor que 0 tal que el
valor absoluto de x menos a sea menor que delta y eso implica que el valor de f
de x menos el límite es menor que épsilon.

Indeterminaciones; fórmula
algébrica que no tiene solución
0/0=Funciones racionales
𝑥 2 + 𝑥 − 6 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 22 + 2 − 6 4 + 2 − 6 6 − 6 0
lim = = = ≈ 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
𝑥→2 𝑥−2 2−2 0 0 0
𝑥2 + 𝑥 − 6
lim
𝑥→2 𝑥−2
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
lim
𝑥→2 𝑥−2
lim (𝑥 + 3) =𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 2 + 3 = 5
𝑥→2

𝑥2 + 𝑥 − 6
lim =5
𝑥→2 𝑥−2

0/0=Funciones irracionales
3 1 1
𝑥 − 3𝑥 4 − 3𝑥 2 + 11𝑥 4 − 6
lim 3 1 1
𝑥→81
𝑥 4 − 4𝑥 2 + 𝑥 4 + 6
4 4
𝑥 − 3( √𝑥 )3 − 3√𝑥 + 11 √𝑥 − 6
lim 4 4
𝑥→81 ( √𝑥 )3 − 4√𝑥 + √𝑥 + 6
4
𝑚 = √𝑥 → 𝑚4 = 𝑥 → 𝑚2 = √𝑥 → 𝑚 = 3
𝑚4 − 3𝑚3 − 3𝑚2 + 11𝑚 − 6 34 − 3. 33 − 3. 32 + 11.3 − 6 0
lim = = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
𝑚→3 𝑚3 − 4𝑚2 + 𝑚 + 6 33 − 4. 32 + 3 + 6 0
𝑚4 − 3𝑚3 − 3𝑚2 + 11𝑚 − 6
lim
𝑚→3 𝑚3 − 4𝑚2 + 𝑚 + 6
(𝑚 − 3)(𝑚3 − 3𝑚 + 2)
lim
𝑚→3 (𝑚 − 3)(𝑚2 − 𝑚 − 2)

(𝑚3 − 3𝑚 + 2) 33 − 3.3 + 2 20
lim = = =5
𝑚→3 (𝑚2 − 𝑚 − 2) 32 − 3 − 2 4

Operaciones con el infinito
Sumas
K+∞ = ∞
-∞+K=-∞
∞+∞=∞
-∞-∞=-∞