Samenvatting Wiskunde B examenstof

Introductie

Het
vak
Wiskunde
B
op
vwo-­‐niveau
bevat
volgens
de
syllabus
een
aantal
domeinen.
Deze

domeinen
zijn:

• Domein
A:
Vaardigheden

• Domein
Bg:
Functies
en
grafieken

• Domein
Cg:
Discrete
analyse

• Domein
Bb:
Differentiaal-­‐
en
integraalrekening

• Domein
Db:
Goniometrische
functies

• Domein
Gb:
Voortgezette
meetkunde

• Domein
F:
Keuzeonderwerpen



Uitgezonderd
van
domein
F
worden
alle
domeinen
getoetst
tijdens
het
centraal
examen.


Deze
examendomeinen
zijn
opgedeeld
in
subdomeinen:

• Domein
A:
Vaardigheden

o Domein
A1:
Informatievaardigheden

o Domein
A2:
Onderzoeksvaardigheden

o Domein
A3:
Technisch-­‐instrumentele
vaardigheden

o Domein
A5:
Algebraïsche
vaardigheden

• Domein
Bg:
Functies
en
grafieken

o Domein
Bg1:
Standaardfuncties

o Domein
Bg2:
Functies,
grafieken,
vergelijkingen
en
ongelijkheden

• Domein
Cg:
Discrete
analyse

o Domein
Cg1:
Veranderingen

• Domein
Bb:
Differentiaal-­‐
en
integraalrekening

o Domein
Bb1:
Afgeleide
functies

o Domein
Bb2:
Algebraïsche
technieken

o Domein
Bb3:
Integraalrekening

• Domein
Db:
Goniometrische
functies

o Domein
Db1:
Goniometrische
functies

• Domein
Gb:
Voortgezette
meetkunde

o Domein
Gb1:
Oriëntatie
op
bewijzen

o Domein
Gb2:
Constructie
en
bewijzen
in
de
vlakke
meetkunde



In
deze
samenvattingen
wordt
ieder
domein
(uitgezonderd
domein
A:
deze
omvat
algemene

vaardigheden
die
je
in
de
lessen
hebt
opgedaan)
afzonderlijk
samengevat
aan
de
hand
van
de

theorie
uit
‘Moderne
Wiskunde,
deel
9’.
Tevens
worden
de
rekenregels
en
(in
een
speciale

bijlage)
de
meetkunderegels
gegeven.





,Domein
Bg:
Functies
en
grafieken


Domein
Bg1:
Standaardfuncties

Binnen
de
wiskunde
is
er
een
aantal
standaard
grafieken
die
karakteristiek
zijn
voor
een

bepaald
functievoorschrift.
Met
een
functievoorschrift
wordt
het
verband
beschreven
tussen
x

en
de
functiewaarde
f(x).
Hieronder
volgt
een
overzicht
van
de
standaardfuncties.











,Lineaire
functies

Formules
van
de
vorm
y
=
ax
+
b
noem
je
lineaire
formules,
waarbij
a
het
hellingsgetal
(of

richtingscoëfficiënt)
is
en
b
het
startgetal.



Machtsfuncties
en
exponentiële
functies

Een
machtsfunctie
is
een
functie
met
de
standaardvorm:
f(x)
=
xn
waarbij
n
=
1,
2,
3,
…

Een
exponentiële
functie
is
een
functie
met
de
standaardvorm:
f(x)
=
nx
waarbij
n
=
1,
2,
3,
…

Deze
functies
hebben
(soms)
delen
in
de
grafiek
waar
daling
plaatsvindt;
op
andere
plekken
is

er
sprake
van
stijging.
Dit
grafiekverloop
heeft
invloed
op
de
eigenschappen
van
een
grafiek.


Goniometrische
functies

Een
goniometrische
functie
is
een
functie
van
een
sinusoïde.


Een
sinusoïde
is
een
grafiek
van
een
sinus-­‐
of
cosinusfunctie.
Dus:
f(x)
=
sin
x
of
f(x)
=
cos
x


Logaritmische
functies

Een
logaritmische
functie
is
een
functie
met
f(x)
=
alog
x
als
functievoorschrift.



Inverse
functies

Inverse
functies
worden
vaak
toegepast.
Inverse
functies
zijn
het
omgekeerde
van
een
functie

f(x)
en
kun
je
noteren
als
f
-­‐1(x)
of
𝑓 (x).
Een
inverse
functie
vindt
je
door
de
y
en
x
van
een
functie

om
te
wisselen.
Een
voorbeeld
hierbij:


f(x):
y
=
ax
⟶
x
=
ay
⟶
y
=
alog
x
⟶
inverse
functie
van
y
=
ax
is
𝑦
=
alog
x

Dus:
de
inverse
functie
van
een
exponentiële
functie
is
een
logaritmische
functie.


Een
inverse
functie
is
handig
wanneer
je
de
karakteristieken
van
een
bepaalde
functie
f(x)
niet

kent,
maar
wel
van
de
functie
f
-­‐1(x)
of
𝑓 (x).


Domein
en
bereik

Bij
een
grafiek
kun
je
een
domein
en
bereik
definiëren.
Het
domein
van
een
grafiek
bestaat
uit

alle
mogelijke
waarden
van
x
waarvoor
de
formule
een
uitkomst
y
geeft.
Het
bereik
van
een

formule
bestaat
uit
alle
mogelijke
waarden
voor
y.
Bij
het
vinden
van
het
domein
en/of
bereik

van
een
grafiek,
is
het
handig
om
het
asymptotisch
gedrag
van
de
grafiek
te
onderzoeken:

• verticale
asymptoot:
stel
de
noemer
gelijk
aan
nul;
de
gevonden
x
waarde
is
asymptoot;

!!  !  !
o voorbeeld:
f(x)
=

⟶
x
–1
=
0
⟶
x
=
1
⟶
verticale
asymptoot:
x
=
1.

!  !  !
• horizontale
asymptoot:
stel
dat
x
→ ∞
of
x
→ −∞;
de
gevonden
y
waarde
is
asymptoot;

!!  !  ! !  ∙  !  !  ! !  ∙  !
o voorbeeld:
f(x)
=

⟶

≈

=
3
⟶
horizontale
asymptoot:
x
=
3

!  !  ! !  !  ! !
• scheve
asymptoot:
wanneer
de
noemer
één
graad
lager
is
dan
de
teller;

!! !  !  !!  !  ! !"
o voorbeeld:
f(x)
=

=
–x
–5
–
⟶
scheve
asymptoot:
–x
–5

!  !  ! !  !  !
• perforatie:
wanneer
zowel
de
noemer
als
de
teller
voor
één
bepaalde
waarde
0
zijn;

! !  !  !!!  !  !" !
o voorbeeld:
f(x)
=

⟶
f(3)
=

=
?
⟶
perforatie
bij
x
=
3.


!  !  ! !
• randpunten:
stel
de
vergelijking
onder
de
wortel
gelijk
aan
nul;
dit
vormt
het
randpunt.

o voorbeeld:
f(x)
=
𝑥 ! − 4
⟶
x2
–
4
=
0
⟶
randpunten
bij
x
=
2
of
x
=
–2


Het
domein
en
bereik
noteer
je
vervolgens
als
volgt:

• intervalnotatie:
bijvoorbeeld
←, − 3 ∪ −2,  5

o rechte
haak:
de
grenswaarde
doet
mee;

o puntige
haak:
de
grenswaarde
doet
niet
mee;

o pijl
naar
links:
alle
waarden
onder
bepaald
getal;

o pijl
naar
rechts:
alle
waarden
boven
bepaald
getal;

o ∪:
verbinding
tussen
twee
intervallen;

o ℝ:
alle
reële
getallen
doen
mee.


• ongelijkheidnotatie:
de
tekens
<,
>,
≤,
≥
en
≠
worden
gebruikt.

Je
gevonden
antwoorden
kun
je
altijd
controleren
met
de
rekenmachine!


,Symmetrie

Een
grafiek
kan
symmetrie
vertonen.
Er
bestaan
twee
vormen
van
symmetrie:

• puntsymmetrie:
er
is
een
punt
die
dezelfde
afstand
heeft
tot
de
functiewaarden;

o het
punt
(0,
0)
als
symmetriepunt:

§ er
moet
gelden:
f(–p)
=
–f(p)

waarbij
p
een
willekeurig
punt

o niet
het
punt
(0,
0)
als
symmetriepunt:

! !  !  !  !  !(!  !  !)
§ er
moet
gelden:

=
b


waarbij
symmetriepunt:
(a,
b)

!
• lijnsymmetrie:
er
is
een
lijn
waarin
de
functie
precies
gespiegeld
kan
worden.

o de
lijn
x
=
0
(y-­‐as)
als
symmetrieas:

§ er
moet
gelden:
f(–p)
=
f(p)

o niet
de
lijn
x
=
0
(y-­‐as)
als
symmetrieas:

§ er
moet
gelden:
f(a
–
p)
=
f(a
+
p)
waarbij
a
symmetrieas




Ook
de
sinus-­‐
en
cosinusfuncties
vertonen
symmetrie.
Welke
vormen
dit
precies
zijn,
is
te

vinden
in
‘Domein
Db1:
Goniometrische
functies’.




Domein
Bg2:
Functies,
grafieken,
vergelijkingen
en
ongelijkheden


Functies
veranderen

De
standaardgrafieken
bij
de
standaardfuncties
kunnen
worden
verandert:
grafieken
kun
je

verschuiven,
spiegelen
in
één
van
de
assen
of
uitrekken
door
te
vermenigvuldigen
met
een
getal

ten
opzichte
van
een
as.
Al
deze
bewerkingen
en
combinaties
hiervan
heten
transformaties.
Het

bijbehorende
functievoorschrift
verandert
daardoor
ook.




Een
hele
familie
van
functies
wordt
vaak
vastgelegd
met
één
of
meer
extra
variabelen.
Een

dergelijke
extra
variabele
heet
een
parameter.
Een
voorbeeld:
fp(x)
=
px2.



Er
zijn
verschillende
transformaties
mogelijk:

• verticale
verschuiving:
bij
een
grafiek
van
een
functie
f
een
getal
d
opgeteld;

o nieuw
functievoorschrift:
g(x)
=
f(x)
±
d.

§ bij
verschuiving
omhoog
geldt:
g(x)
=
f(x)
+
d;

§ bij
verschuiving
omlaag
geldt:
g(x)
=
f(x)
–
d.


• horizontale
verschuiving:
een
grafiek
wordt
over
een
afstand
c
verschoven.

o nieuw
functievoorschrift:
g(x)
=
f(x
±
c).

§ bij
verschuiving
naar
rechts
geldt:
f(x
–
c);

§ bij
verschuiving
naar
links
geldt:
f(x
+
c).



Of
bij
een
grafiek
transformaties
zijn
toegepast,
merk
je
als
volgt:

1. Noem
de
standaardgrafiek
waaruit
deze
grafiek
is
ontstaan.

2. Let
op
de
plaatsen
van:
toppen,
snijpunten
met
de
assen,
randpunten
en
asymptoten
en

leid
daaruit
af
welke
translaties
zijn
toegepast.

3. Noteer
het
functievoorschrift
en
controleer
dit
met
een
plot.




Er
zijn
transformaties
waarbij
vermenigvuldigd
wordt:

• verticale
vermenigvuldiging:
vermenigvuldiging
ten
opzichte
van
de
x-­‐as
met
factor
a;

o nieuw
functievoorschrift:
g(x)
=
a
∙
f(x).

!
• horizontale
vermenigvuldiging:
vermenigvuldiging
ten
opzichte
van
de
y-­‐as
met
factor
.

!
o als
b
<
0,
worden
de
punten
bovendien
gespiegeld
in
de
y-­‐as;

o nieuw
functievoorschrift:
g(x)
=
f(bx).





,Transformaties
kunnen
na
elkaar
worden
toegepast.
Het
functievoorschrift
van
een
grafiek
vindt

je
dan
als
volgt:

1. Kijk
welke
standaardgrafiek
in
aanmerking
komt.

2. Let
op
randpunten,
asymptoten
en
toppen
om
te
ontdekken
welke
transformaties
ten

opzichte
van
de
standaardgrafiek
hebben
plaatsgevonden.

3. Stel
vast
of
de
standaardgrafiek
in
horizontale
of
in
verticale
richting
moet
worden

vermenigvuldigd
om
de
gegeven
grafiek
te
krijgen.

4. Stel
het
functievoorschrift
op
en
controleer
het
met
een
plot.


Vergelijkingen

Een
kwadratische
vergelijking
bestaat
uit
één
of
meer
variabelen
met
een
kwadraat.

Veelvoorkomende
kwadratische
vergelijkingen
zijn
twee-­‐
en
drietermen.
Zulke
termen
kun
je

ontbinden
in
lineaire
factoren:

• tweeterm
ontbinden
in
factoren:
vaste
vorm
als
y
=
a(b
±
c)

y
=
6x2
+
15x
⟶
y
=
3x(2x
+
5)

• drieterm
ontbinden
in
factoren:
vaste
vorm
als
y
=
(a
±
b)(c
±
d)

! !
y
=
x2
+
x
–
6
⟶
y
=
x2
+
x
–
30
⟶
y
=
(x
–
5)(x
+
6)

! !


Voor
het
vermenigvuldigen
van
tweetermen
gelden
de
volgende
regels:

• (a
+
b)2
=
a2
+
2ab
+
b2

• (a
–
b)2
=
a2
–
2ab
+
b2

• (a
–
b)(a
+
b)
=
a2
–
b2

• (a
+
b)(c
+
d)
=
ac
+
ad
+
bc
+
bd



Vaak
wordt
er
gevraagd
om
van
een
functie
de
snijpunten
met
de
x-­‐as
(of
nulpunten)
te

berekenen.
Deze
vindt
je
door
de
vergelijking
gelijk
te
stellen
aan
0;
dus:
f(x)
=
0.
Bij
het

oplossen
van
een
vergelijking
kun
je
de
volgende
rekenregels
gebruiken:



A
∙
B
=
0
⟶
A
=
0
of
B
=
0


A
∙
B
=
A
∙
C
⟶
A
=
0
of
B
=
C

! !


=
C
⟶
A
=
BC
(B
≠
0)
of

=
B

! !
! !


=

⟶
AD
=
BC
(B
≠
0
en
D
≠
0)

! !

𝐴! = 𝐵 !
⟶
A
=
B
of
A
=
–B

! !
Vooral
de
eerste
regel
komt
erg
vaak
voor.
Stel
dat
je
voor
y
=
x2
+
x
–
6
de
snijpunten
met
de
x-­‐
! !
as
moet
berekenen.
Dit
doe
je
op
de
volgende
manier:

! !

y
=
x2
+
x
–
6
=
(x
–
5)(x
+
6)
=
A
∙
B

(zie
eerste
rekenregel)

! !
⇒ A
=
0
⟶
(x
–
5)
=
0
⟶
x
=
5

⇒ B
=
0
⟶
(x
+
6)
=
0
⟶
x
=
–6

Soms
komt
het
voor
dat
je
een
vergelijking
met
een
drieterm
niet
exact
(dus
zonder
de

rekenmachine)
kunt
ontbinden.
Wanneer
je
zo’n
drieterm
gelijk
stelt
aan
0,
kun
je
aan
de
hand

van
de
abc-­‐formule
als
nog
de
waarden
van
x
vinden
waarvoor
geldt:
y
=
0.
De
abc-­‐formule

gebruik
je
bij
een
drieterm
in
de
vorm
van
ax2
+
bx
+
c
=
0.
De
formule
luidt
als
volgt:




!!  ±   ! !  !  !!"
x
=


!!


Het
kan
voorkomen
dat
je
de
snijpunten
van
twee
lijnen
moet
vinden.
Deze
snijpunten
vindt
je

door
beide
functies
aan
elkaar
gelijk
te
stellen
en
de
vergelijking
op
te
lossen.
Dus:
f(x)
=
g(x).



, Rekenregels

Voor
machten
en
exponenten
bestaan
de
volgende
rekenregels:


𝑎 !   ∙   𝑎 !
=
𝑎 !  !  !



𝑎 !
=
1

!!


=
𝑎 !  !  !

!!
!! !

𝑎
=
!

!

𝑎 ! !
=
𝑎 !"

!
!

𝑎 !
=
𝑎 !



Deze
rekenregels
kun
je
gebruiken
om
exponentiële
vergelijkingen
exact
op
te
lossen.
Een

! ! !  !  !
voorbeeld
bij
het
gebruik
van
deze
rekenregels:
Los
op:
4 2
=


!
!
! ! !  !  ! ! !
! !

4 2
=

⟶
2! ∙ 2!
=
2!! !  !  !

⟶
2!!!
=
2!  !  !
⟶
2 t
=
t
–
1
⟶
t
=
–

! ! !

Logaritmen

In
het
algemeen
geldt:
ga
=
p
⟶
a
=
glog
p.

Dit
kun
je
onthouden
als:
gaat
alles
=
prima?
⟶
alles
=
gaat
logischerwijs
prima

Voor
logaritmen
gelden
de
volgende
rekenregels:

glog
a
+
glog
b

=
glog
ab

!

glog
a
–
glog
b

=
glog


!

k
∙
glog
a
=
glog
ak

!"# !

glog
a

=


!"# !


Een
vergelijking
met
logaritmen
kun
je
volgens
volgend
stappenplan
oplossen:

1. Schrijf
alle
termen
van
de
vergelijking
als
logaritmen
met
hetzelfde
grondtal.
Als
dit
niet

mogelijk
is,
kun
je
de
vergelijking
niet
exact
oplossen.

2. Herschrijf
de
vergelijking
met
behulp
van
de
rekenregels
zo
dat
er
links
en
rechts
van
het

‘is’-­‐teken
één
logaritme
staat.


3. Stel
de
uitdrukking
achter
de
logaritmen
links
en
rechts
gelijk
aan
elkaar,
los
de

vergelijking
op
en
controleer
je
antwoord
door
het
in
de
oorspronkelijke
vergelijking
in

te
vullen.


Een
voorbeeld
bij
bovenstaand
stappenplan
aan
de
hand
van:
8log
x
+
8log
7
=
3

8log
x
+
8log
7
=
8log
512

!

8log
7x
=
8log
512
⟶
7x
=
512
⟶
x
=
73

(dit
invullen
klopt).


!


Op
de
rekenmachine
kun
je
een
logaritme
als
alog
b
niet
invoeren.
Wanneer
je
alleen
log
b

invoert
op
de
rekenmachine,
wordt
10log
b
bedoelt.
Voor
het
berekenen
van
een
andere

!"# !
logaritme
gebruik
je
de
volgende
rekenregel:
alog
b
=

of
loga
b
(via
MATH
⟶
logBASE)

!"# !


Een
exponentiële
functie
kun
je
schrijven
met
een
ander
grondtal.
Dit
doe
je
als
volgt:

1. Schrijf
de
functie
f(t)
=
bt
als
een
functie
van
de
vorm
g(t)
=
2at.

2. Los
de
vergelijking
2a
=
b
op.

De
oplossing
is
a
=
2log
b.

!
3. Je
kunt
f(t)
nu
schrijven
als
f(t)
=
2!"#! !





Elke
exponentiële
functie
f(x)
=
gx
kun
je
schrijven
als
f(x)
=
e!" !  ∙  ! .
Hieruit
volgt
een
nieuwe

rekenregel
voor
logaritmen:


a
=
b !"#! !