Cijfer
Cijfers zijn de vaste tekens die men gebruikt om getallen voor te stellen.
Wij hanteren in het tientallig stelsel van origine Arabische cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9
De Romeinse cijfersymbolen zijn:
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
In het Arabisch gebruikt men de volgende cijfersymbolen:
In andere talstelsels heeft men soms genoeg aan minder cijfers of juist aan meer cijfers.
Getallen
Een getal bestaat uit een aantal cijfers. De plaats van de cijfers bepaalt de waarde ervan.
Symbolen
Symbool Betekenis en verwijzing/ voorbeeld
+ plus
- min
x keer
: gedeeld door
= gelijk aan: 6 + 7 = 13
≈ ongeveer
< kleiner dan 7 < 8
> groter dan 5 > -1
( ) haakje 15 : 3 + 2 = 5 + 2 = 7; 15 : (3 + 2) = 15 : 5 = 3
H honderdtal
T tiental
R eenheid
2
kwadraat
3
derdemacht: 43 = 4 x 4 x 4 = 64
% procent
‰ promille
1
,Bewerkingen
De volgorde van de bewerkingen kan stapsgewijs worden toegepast:
haakjes
machtsverheffen en worteltrekken
vermenigvuldigen en delen
optellen en aftrekken
Bewerkingen die in de lijst op gelijke hoogte staan, zoals optellen en aftrekken, zijn gelijkwaardig.
Gelijkwaardige bewerkingen worden van links naar rechts uitgevoerd.
Zie ook bij de associatieve eigenschap, de commutatieve eigenschap en de distributieve eigenschap.
5 + 14 – 3 + 4 = 19 – 3 + 4 = 16 + 4 = 20
5 + 14 – (3 + 4) = 5 + 14 – 7 = 19 – 7 = 12
5 x 15 : 3 x 4 = 75 : 3 x 4 = 25 x 4 = 100
5 x 15 : (3 x 4) = 5 x 15 : 12 = 75 : 12 = 6,25
5 x 33 = 5 x 27 = 135
(5 x 3)3 = 153 = 3375
3 - 15 + 25 : 5 - 2 x 5 + 3 x 33 = 3 - 15 + 5 - 10 + 3 x 27 = 3 - 15 + 5 - 10 + 81 =
-10 + 5 -10 + 81 = -5 – 10 + 81 = -15 + 81 = 66
Commutatieve eigenschap
De commutatieve eigenschap (ook wel de wisseleigenschap genoemd) is de eigenschap dat men de getallen in
een bewerking mag verwisselen, omdat de uitkomst daardoor niet verandert.
De commutatieve eigenschap geldt voor de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen.
Bij optellen geldt: 9 + 36 = 36 + 9 = 45
Bij vermenigvuldigen geldt: 125 x 8 = 8 x 125 = 1000
Bij de didactiek van het leren van de tafels van vermenigvuldiging leert men de kinderen dat
4 x 3 hetzelfde is als 3 x 4 aan de hand van het rechthoekmodel:
2
,Associatieve eigenschap
De associatieve eigenschap is de eigenschap dat men de getallen in een bewerking in een andere volgorde mag
afwerken, omdat de uitkomst daardoor niet verandert.
De associatieve eigenschap geldt voor de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen. Dat ligt ook voor de
hand als je je bedenkt wat deze bewerkingen kunnen betekenen. 27 + 19 + 31 kun je zien als een zak met 27
objecten en een met 19 objecten en een met 31 objecten bij elkaar doen. De totale hoeveelheid blijft gelijk,
ongeacht in welke volgorde je dat doet. Bij optellen geldt daarom: (27 + 19) + 31 = 27 + (19 + 31) = 27 + 50 = 77
De vermenigvuldiging 6 x 8 x 5 kun je zien als het berekenen van de inhoud van een blok met lengte 6 cm,
diepte 8 cm en hoogte 5 cm. Het vermenigvuldigen kun je zien als het vullen van het blok met blokjes van 1
cm3. Wanneer je de volgorde verandert in het uitvoeren van de vermenigvuldigingen, betekent dat je daarmee
de blokjes in een andere volgorde stapelt. De uitkomst blijft gelijk, dus bij vermenigvuldigen geldt: (6 x 8) x 5 =
6 x (8 x 5) = 6 x 40 = 240
Distributieve eigenschap
De distributieve eigenschap (ook wel de verdeeleigenschap genoemd) is de eigenschap dat men de getallen in
een bewerking als het ware ‘verdeelt’: a x (b + c) = a x b + a x c of a x (b – c) = a x b – a x c
Inverse relatie
Onder de inverse relatie van een hoofdbewerking verstaan we een bewerking die in bepaalde zin het
omgekeerde bereikt. Zo is aftrekken de inverse relatie van optellen, delen de inverse relatie van
vermenigvuldigen en worteltrekken de inverse relatie van kwadrateren.
3
, Aftrekken
Aftrekken is een van de vier hoofdbewerkingen (naast optellen, vermenigvuldigen en delen) van twee of
meerdere getallen. Aftrekken is het verminderen van een getal met een ander getal; door aftrekken bepaalt
men hoeveel er na de vermindering overblijft. Aftrekken beantwoordt de vraag hoeveel nog bij een gegeven
aantal opgeteld moet worden om een bepaald totaal te verkrijgen.
Aftrekken is de inverse bewerking van optellen.
Verschil nemen
Twee getallen kan men met elkaar vergelijken door het verschil van deze getallen te bepalen.
Het verschil nemen van twee getallen is nauw verbonden met het aftrekken van die getallen.
Eraf
Bij het aftrekken wordt het minteken in een som van de vorm a – b ook wel uitgesproken als eraf.
Min
Het aftrekken van twee getallen a en b wordt genoteerd als a - b. Het minteken wordt uitgesproken als min of
eraf.
Optellen
Optellen is een van de vier hoofdbewerkingen (naast aftrekken, vermenigvuldigen en delen) tussen twee of
meerdere getallen. Optellen is het bepalen van het totale aantal dat ontstaat bij samenvoeging van twee of
meer afzonderlijke aantallen of, startend met het eerste getal, het tweede getal erbij tellen.
In het geval dat men optellen ziet als ‘samenvoegen’, ziet men in een plaatje links twee appels liggen en rechts
drie appels, dan zijn dat in totaal 2 + 3 = 5 appels. Wanneer men optellen ziet als ‘er iets bij doen’, kan men
denken aan het busmodel. Stel dat je 8 personen in de bus hebt en dat er 3 instappen. Dan kun je bijvoorbeeld
vanaf het begingetal 8 verder tellen met 3: ‘negen, tien, elf’. Conclusie: 8 + 3 = 11. ‘8 plus 3 is 11’. Dit resultaat
11 noemt men de som van de bij elkaar opgetelde getallen.
De getallen 8 en 3 in de optelling 8 + 3 = worden ook wel termen genoemd.
Optellen wordt ook gebruikt voor het samenvoegen van andere fysieke en abstracte grootheden, waarbij
verschillende soorten getallen gebruikt kunnen worden: gehele getallen, negatieve getallen, breuken, decimale
getallen, irrationale getallen en nog veel meer soorten getallen.
De inverse bewerking van optellen is aftrekken.
Erbij
Bij het optellen wordt het plusteken in een som van de vorm a + b ook wel uitgesproken als erbij.
4
Cijfers zijn de vaste tekens die men gebruikt om getallen voor te stellen.
Wij hanteren in het tientallig stelsel van origine Arabische cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9
De Romeinse cijfersymbolen zijn:
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
In het Arabisch gebruikt men de volgende cijfersymbolen:
In andere talstelsels heeft men soms genoeg aan minder cijfers of juist aan meer cijfers.
Getallen
Een getal bestaat uit een aantal cijfers. De plaats van de cijfers bepaalt de waarde ervan.
Symbolen
Symbool Betekenis en verwijzing/ voorbeeld
+ plus
- min
x keer
: gedeeld door
= gelijk aan: 6 + 7 = 13
≈ ongeveer
< kleiner dan 7 < 8
> groter dan 5 > -1
( ) haakje 15 : 3 + 2 = 5 + 2 = 7; 15 : (3 + 2) = 15 : 5 = 3
H honderdtal
T tiental
R eenheid
2
kwadraat
3
derdemacht: 43 = 4 x 4 x 4 = 64
% procent
‰ promille
1
,Bewerkingen
De volgorde van de bewerkingen kan stapsgewijs worden toegepast:
haakjes
machtsverheffen en worteltrekken
vermenigvuldigen en delen
optellen en aftrekken
Bewerkingen die in de lijst op gelijke hoogte staan, zoals optellen en aftrekken, zijn gelijkwaardig.
Gelijkwaardige bewerkingen worden van links naar rechts uitgevoerd.
Zie ook bij de associatieve eigenschap, de commutatieve eigenschap en de distributieve eigenschap.
5 + 14 – 3 + 4 = 19 – 3 + 4 = 16 + 4 = 20
5 + 14 – (3 + 4) = 5 + 14 – 7 = 19 – 7 = 12
5 x 15 : 3 x 4 = 75 : 3 x 4 = 25 x 4 = 100
5 x 15 : (3 x 4) = 5 x 15 : 12 = 75 : 12 = 6,25
5 x 33 = 5 x 27 = 135
(5 x 3)3 = 153 = 3375
3 - 15 + 25 : 5 - 2 x 5 + 3 x 33 = 3 - 15 + 5 - 10 + 3 x 27 = 3 - 15 + 5 - 10 + 81 =
-10 + 5 -10 + 81 = -5 – 10 + 81 = -15 + 81 = 66
Commutatieve eigenschap
De commutatieve eigenschap (ook wel de wisseleigenschap genoemd) is de eigenschap dat men de getallen in
een bewerking mag verwisselen, omdat de uitkomst daardoor niet verandert.
De commutatieve eigenschap geldt voor de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen.
Bij optellen geldt: 9 + 36 = 36 + 9 = 45
Bij vermenigvuldigen geldt: 125 x 8 = 8 x 125 = 1000
Bij de didactiek van het leren van de tafels van vermenigvuldiging leert men de kinderen dat
4 x 3 hetzelfde is als 3 x 4 aan de hand van het rechthoekmodel:
2
,Associatieve eigenschap
De associatieve eigenschap is de eigenschap dat men de getallen in een bewerking in een andere volgorde mag
afwerken, omdat de uitkomst daardoor niet verandert.
De associatieve eigenschap geldt voor de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen. Dat ligt ook voor de
hand als je je bedenkt wat deze bewerkingen kunnen betekenen. 27 + 19 + 31 kun je zien als een zak met 27
objecten en een met 19 objecten en een met 31 objecten bij elkaar doen. De totale hoeveelheid blijft gelijk,
ongeacht in welke volgorde je dat doet. Bij optellen geldt daarom: (27 + 19) + 31 = 27 + (19 + 31) = 27 + 50 = 77
De vermenigvuldiging 6 x 8 x 5 kun je zien als het berekenen van de inhoud van een blok met lengte 6 cm,
diepte 8 cm en hoogte 5 cm. Het vermenigvuldigen kun je zien als het vullen van het blok met blokjes van 1
cm3. Wanneer je de volgorde verandert in het uitvoeren van de vermenigvuldigingen, betekent dat je daarmee
de blokjes in een andere volgorde stapelt. De uitkomst blijft gelijk, dus bij vermenigvuldigen geldt: (6 x 8) x 5 =
6 x (8 x 5) = 6 x 40 = 240
Distributieve eigenschap
De distributieve eigenschap (ook wel de verdeeleigenschap genoemd) is de eigenschap dat men de getallen in
een bewerking als het ware ‘verdeelt’: a x (b + c) = a x b + a x c of a x (b – c) = a x b – a x c
Inverse relatie
Onder de inverse relatie van een hoofdbewerking verstaan we een bewerking die in bepaalde zin het
omgekeerde bereikt. Zo is aftrekken de inverse relatie van optellen, delen de inverse relatie van
vermenigvuldigen en worteltrekken de inverse relatie van kwadrateren.
3
, Aftrekken
Aftrekken is een van de vier hoofdbewerkingen (naast optellen, vermenigvuldigen en delen) van twee of
meerdere getallen. Aftrekken is het verminderen van een getal met een ander getal; door aftrekken bepaalt
men hoeveel er na de vermindering overblijft. Aftrekken beantwoordt de vraag hoeveel nog bij een gegeven
aantal opgeteld moet worden om een bepaald totaal te verkrijgen.
Aftrekken is de inverse bewerking van optellen.
Verschil nemen
Twee getallen kan men met elkaar vergelijken door het verschil van deze getallen te bepalen.
Het verschil nemen van twee getallen is nauw verbonden met het aftrekken van die getallen.
Eraf
Bij het aftrekken wordt het minteken in een som van de vorm a – b ook wel uitgesproken als eraf.
Min
Het aftrekken van twee getallen a en b wordt genoteerd als a - b. Het minteken wordt uitgesproken als min of
eraf.
Optellen
Optellen is een van de vier hoofdbewerkingen (naast aftrekken, vermenigvuldigen en delen) tussen twee of
meerdere getallen. Optellen is het bepalen van het totale aantal dat ontstaat bij samenvoeging van twee of
meer afzonderlijke aantallen of, startend met het eerste getal, het tweede getal erbij tellen.
In het geval dat men optellen ziet als ‘samenvoegen’, ziet men in een plaatje links twee appels liggen en rechts
drie appels, dan zijn dat in totaal 2 + 3 = 5 appels. Wanneer men optellen ziet als ‘er iets bij doen’, kan men
denken aan het busmodel. Stel dat je 8 personen in de bus hebt en dat er 3 instappen. Dan kun je bijvoorbeeld
vanaf het begingetal 8 verder tellen met 3: ‘negen, tien, elf’. Conclusie: 8 + 3 = 11. ‘8 plus 3 is 11’. Dit resultaat
11 noemt men de som van de bij elkaar opgetelde getallen.
De getallen 8 en 3 in de optelling 8 + 3 = worden ook wel termen genoemd.
Optellen wordt ook gebruikt voor het samenvoegen van andere fysieke en abstracte grootheden, waarbij
verschillende soorten getallen gebruikt kunnen worden: gehele getallen, negatieve getallen, breuken, decimale
getallen, irrationale getallen en nog veel meer soorten getallen.
De inverse bewerking van optellen is aftrekken.
Erbij
Bij het optellen wordt het plusteken in een som van de vorm a + b ook wel uitgesproken als erbij.
4
