Thomas' Calculus 11th Edition Solution Manual

CHAPTER 1 PRELIMINARIES

1.1 REAL NUMBERS AND THE REAL LINE

1. Executing long division, 1
9
œ 0.1, 2
9
œ 0.2, 3
9
œ 0.3, 8
9
œ 0.8, 9
9
œ 0.9


11œ 11œ 11œ œ 11œ
2. Executing long division, 1 0.09, 2
0.18, 3
0.27, 9
0.81, 11
0.99
11


3. NT = necessarily true, NNT = Not necessarily true. Given: 2 < x < 6.
a) NNT. 5 is a counter example.
b) NT. 2 < x < 6 Ê 2 — 2 < x — 2 < 6 — 2 Ê 0 < x — 2 < 2.

c) NT. 2 < x < 6 Ê 2/2 < x/2 < 6/2 Ê 1 < x < 3.

d) NT. 2 < x < 6 Ê 1/2 > 1/x > 1/6 Ê 1/6 < 1/x < 1/2.

e) NT. 2 < x < 6 Ê 1/2 > 1/x > 1/6 Ê 1/6 < 1/x < 1/2 Ê 6(1/6) < 6(1/x) < 6(1/2) Ê 1 < 6/x < 3.

f) NT. 2 < x < 6 Ê x < 6 Ê (x — 4) < 2 and 2 < x < 6 Ê x > 2 Ê —x < —2 Ê —x + 4 < 2 Ê —(x — 4) < 2.

The pair of inequalities (x — 4) < 2 and —(x — 4) < 2 Ê | x — 4 | < 2.
g) NT. 2 < x < 6 Ê —2 > —x > —6 Ê —6 < —x < —2. But —2 < 2. So —6 < —x < —2 < 2 or —6 < —x < 2.

h) NT. 2 < x < 6 Ê —1(2) > —1(x) < —1(6) Ê —6 < —x < —2



4. NT = necessarily true, NNT = Not necessarily true. Given: —1 < y — 5 < 1.
a) NT. —1 < y — 5 < 1 Ê —1 + 5 < y — 5 + 5 < 1 + 5 Ê 4 < y < 6.

b) NNT. y = 5 is a counter example. (Actually, never true given that 4 < y < 6)
c) NT. From a), —1 < y — 5 < 1, Ê 4 < y < 6 Ê y > 4.
d) NT. From a), —1 < y — 5 < 1, Ê 4 < y < 6 Ê y < 6.

e) NT. —1 < y — 5 < 1 Ê —1 + 1 < y — 5 + 1 < 1 + 1 Ê 0 < y — 4 < 2.

f) NT. —1 < y — 5 < 1 Ê (1/2)(—1 + 5) < (1/2)(y — 5 + 5) < (1/2)(1 + 5) Ê 2 < y/2 < 3.

g) NT. From a), 4 < y < 6 Ê 1/4 > 1/y > 1/6 Ê 1/6 < 1/y < 1/4.

h) NT. —1 < y — 5 < 1 Ê y — 5 > —1 Ê y > 4 Ê —y < —4 Ê —y + 5 < 1 Ê —(y — 5) < 1.

Also, —1 < y — 5 < 1 Ê y — 5 < 1. The pair of inequalities —(y — 5) < 1 and (y — 5) < 1 Ê | y — 5 | < 1.



5. —2x > 4 Ê x < —2

6. 8 — 3x 5 Ê —3x —3 Ê x C 1 ïïïïïïïïïñqqqqqqqqp x
1

,7. 5x —$ C ( — 3x Ê 8x C 10 Ê x C
5


4


8. 3(2 — x) > 2(3 + x) Ê 6 — 3x > 6 + 2x
Ê 0 > 5x Ê 0 > x ïïïïïïïïïðqqqqqqqqp x
0


9. 2x — 1 7x + 7
Ê —1— 7
5x
Z 6 Z 6
Ê 1
5
ˆ— 10 ‰
6
x or — 31 x

10. 6—x
4 < 3x—4
2
Ê 12 — 2x < 12x — 16

Ê 28 < 14x Ê 2 < x qqqqqqqqqðïïïïïïïïî x
2

,2 Chapter 1 Preliminaries

11. 4
(x — 2) < 1 (x — 6) Ê 12(x — 2) < 5(x — 6)
5 3
7
Ê 12x — 24 < 5x — 30 Ê 7x < —6 or x < — 6



12. — x+5
2 C
12+3x
4
Ê —(4x + 20) C 24 + 6x
Ê —44 C 10x Ê — 225 C x qqqqqqqqqñïïïïïïïïî x
—22/5

13. y œ 3 or y œ —3

14. y — 3 œ 7 or y — 3 œ —7 Ê y œ 10 or y œ —4

15. 2t + 5 œ 4 or 2t + & œ —4 Ê 2t œ —1 or 2t œ —9 Ê t œ — 1 or t œ — 9

Z Z


16. 1 — t œ 1 or 1 — t œ —1 Ê —t œ ! or —t œ —2 Ê t œ 0 or t œ 2


17. 8 — 3s œ 9
or 8 — 3s œ — 9
Ê —3s œ — 7
or —3s œ — 25
Ê sœ 7
or s œ 25
2 Z Z Z 6 6

18. s
— 1 œ 1 or s
— 1 œ —1 Ê s
œ 2 or s
œ ! Ê s œ 4 or s œ 0

Z Z Z Z


19. —2 < x < 2; solution interval (—2ß 2)

20. —2 C x C 2; solution interval [—2ß 2] qqqqñïïïïïïïïñqqqqp x
—2 2


21. —3 C t — 1 C 3 Ê —2 C t C 4; solution interval [—2ß 4]


22. —1 < t + 2 < 1 Ê —3 < t < —1;

solution interval (—3ß —1) qqqqðïïïïïïïïðqqqqp t
—3 —1

23. —% < 3y — 7 < 4 Ê 3 < 3y < 11 Ê 1 < y < 11
;
3

solution interval ˆ1ß 11 ‰
3


24. —1 < 2y + 5 < " Ê —6 < 2y < —4 Ê —3 < y < —2;
solution interval (—3ß —2) qqqqðïïïïïïïïðqqqqp y

—3 —2
25. —1 C z
—1 C1 Ê 0C z
C 2 Ê 0 C z C 10;
5 5

solution interval [0ß 10]

26. —2 C 3z
— 1 C 2 Ê —1 C 3z
C 3 Ê — 2 C z C 2;
Z Z 3
solution interval [— 23ß 2‘ qqqqñïïïïïïïïñqqqqp z

, —2/3 2

27. — 1 < 3 — 1 < 1 Ê — 7 <— 1 <— 5
Ê 7
> 1
> 5


Z x Z Z x Z Z x Z

Ê 2
7
<x< 2
5
; solution interval ˆ 2 ß7 2 5‰


28. —3 < 2
—4 <3 Ê 1 < 2
<( Ê 1> x
> 1

x x Z 7
Ê 2>x> 2
7
Ê 2
7
< x < 2; solution interval ˆ 27ß 2‰ qqqqðïïïïïïïïðqqqqp x
2/7 2