Modelos de exámenes parciales de análisis matemático I / cálculo diferencial e integral I

1) MODELOS DE EXAMEN RESUELTOS DE CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL I. FaCENA – UNNE




1)
1 3 3 2
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 3𝑥
2 4
3 2 3
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 − 𝑥−3
2 2
3
𝑓 ′′ (𝑥) = 3𝑥 −
2
𝑓 ′′′ (𝑥) = 3
a) Puntos críticos:
3 2 3
𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 − 𝑥−3=0
2 2
Aplicando la fórmula resolvente:

3 √ 3 2 3 3 81 3 9 3 9
± (− ) − 4. . −3 2 ± √ 4 ± 6 18 1 3
2 2 2 2 2
= = =2±2= ± = ±
3 6 6 6 6 12 12 2 2
2.
2 2 2 2 2
1 3 1 3
𝑥1 = + =2 𝑥2 = − = −1
2 2 2 2
Evaluando la función en los valores obtenidos:
1 3 7
𝑓(−1) = (−1)3 − (−1)2 − 3(−1) =
2 4 4
1 3
𝑓(2) = (2)3 − (2)2 − 3(2) = −5
2 4

, 𝟕
∴ Los puntos críticos serán: 𝑷𝟏 = (−𝟏, ) ; 𝑷𝟐 = (𝟐, −𝟓)
𝟒

Analizando la existencia de extremos en los puntos críticos:
3 9
𝑓 ′′ (−1) = 3(−1) − =− <0
2 2
3 9
𝑓 ′′ (2) = 3(2) − = >0
2 2
𝟕
Entonces, el punto 𝑷𝟏 = (−𝟏, ) será un máximo local y el punto 𝑷𝟐 = (𝟐, −𝟓) será un
𝟒
mínimo local.

b) Intervalos de crecimiento:
3 2 3
𝑓 ′ (𝑥) > 0 ⇒ 𝑥 − 𝑥−3>0
2 2
Habiendo calculado las raíces del polinomio en el ítem anterior, se puede utilizar su
descomposición factorial:
3
𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
2
3
𝑓 ′ (𝑥) > 0 ⇒ (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) > 0
2
[𝑥 − 2 > 0 ∧ 𝑥 + 1 > 0] ∨ [𝑥 − 2 < 0 ∧ 𝑥 + 1 < 0]

[𝑥 > 2 ∧ 𝑥 > −1] ∨ [𝑥 < 2 ∧ 𝑥 < −1]
(𝟐, +∞) ∪ (−∞, −𝟏)
Intervalos de decrecimiento:
3
𝑓 ′ (𝑥) < 0 ⇒ (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) < 0
2
[𝑥 − 2 > 0 ∧ 𝑥 + 1 < 0] ∨ [𝑥 − 2 < 0 ∧ 𝑥 + 1 > 0]
[𝑥 > 2 ∧ 𝑥 < −1] ∨ [𝑥 < 2 ∧ 𝑥 > −1]

∅ ∪ (−𝟏, 𝟐)

c) Puntos de inflexión:
3 1
𝑓 ′′ (𝑥) = 0 ⇒ 3𝑥 − =0⇒𝑥=
2 2
1
𝑓 ′′′ ( ) = 3 ≠ 0
2
1
Entonces, en 𝑥 = , hay un punto de inflexión.
2

Evaluando la función en 1/2

1 1 1 3 3 1 2 1 13
𝑓( ) = ( ) − ( ) −3( ) = −
2 2 2 4 2 2 8

, 𝟏 𝟏𝟑
∴ El punto 𝑷𝟑 = ( , − ) es de inflexión.
𝟐 𝟖

d) Para una gráfica más precisa:

intersección con el eje y:
1 3
𝑓(0) = (0)3 − (0)2 − 3(0) = 0
2 4
En 𝑷𝟒 = (𝟎, 𝟎) la función interseca al eje y:

intersección con el eje x:
1 3
𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 3 − 𝑥 2 − 3𝑥 = 0
2 4
1 3 3 2 1 3
𝑥 − 𝑥 − 3𝑥 = 𝑥 ( 𝑥 2 − 𝑥 − 3)
2 4 2 4
1 3 1 2 3
𝑥 ( 𝑥 2 − 𝑥 − 3) = 0 ⇒ 𝒙𝟏 = 𝟎 ∨ 𝑥 − 𝑥−3 = 0
2 4 2 4
Aplicando la fórmula resolvente:

3 √ 3 2 1
± (− ) − 4. . −3 3 101 3 √101 3 √101
4 4 2
= ±√ = ± = ±
1 4 16 4 √16 4 4
2.
2
3 √101 3 + √101 3 √101 3 − √101
𝒙𝟐 = + = ≅ 3,31 𝒙𝟑 = + = ≅ −1,81
4 4 4 4 4 4
𝟑+√𝟏𝟎𝟓 𝟑−√𝟏𝟎𝟓
En los puntos 𝑷𝟒 = (𝟎, 𝟎); 𝑷𝟓 = ( , 𝟎) ; 𝑷𝟔 =( , 𝟎) la función interseca al eje x:
𝟒 𝟒