Modelos de exámenes parciales de análisis matemático I / cálculo diferencial e integral I

3) MODELOS DE EXAMEN RESUELTOS DE CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL I. FaCENA – UNNE



2 1 5
𝒂) 𝐴 = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ | 𝑥 − | ≤ }
3 6 6
5 2 1 5
− ≤ 𝑥− ≤
6 3 6 6
5 1 2 5 1
− + ≤ 𝑥≤ +
6 6 3 6 6
2 3 3
− . ≤ 𝑥 ≤ 1.
3 2 2
𝟑
−𝟏 ≤ 𝒙 ≤
𝟐
𝟑
𝑨 = [−𝟏, ]
𝟐




b) El intervalo no es un entorno porque no es un intervalo abierto.




3𝑥 6 + 3𝑥 3 + 2 ∞
Lím ( 6
)= 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏
𝑥→∞ 7𝑥 + 𝑥 − 1 ∞

Dividiendo numerador y denominador por x6:

3𝑥 6 + 3𝑥 3 + 2 3 3
3+ 3+ 6
Lím ( 𝑥 6
) = Lím ( 𝑥 𝑥 ) = (3 + 0 + 0 ) = 𝟑
𝑥→∞ 6
7𝑥 + 𝑥 − 1 𝑥→∞ 1 1 7+0−0 𝟕
7+ 5− 6
𝑥6 𝑥 𝑥



2 − √𝑥 − 2 2 − √6 − 2 𝟎
Lím ( 2 )= = 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏
𝑥→6 𝑥 − 36 62 − 36 𝟎

, Multiplicando y dividiendo al numerador por su conjugado:
2
2 − √𝑥 − 2 2 + √𝑥 − 2 22 − (√𝑥 − 2)
Lím ( 2 . ) = Lím ( )
𝑥→6 𝑥 − 36 2 + √𝑥 − 2 𝑥→6 (𝑥 2 − 36). (2 + √𝑥 − 2)


Aplicando diferencia de cuadrado en (𝑥 2 − 36):
4−𝑥+2 −(𝑥 − 6)
Lím ( ) = Lím ( )
𝑥→6 (𝑥 + 6). (𝑥 − 6). (2 + √𝑥 − 2) 𝑥→6 (𝑥 + 6). (𝑥 − 6). (2 + √𝑥 − 2)


−1 −1 −1 𝟏
Lím ( )= = =−
𝑥→6 (𝑥 + 6). (2 + √𝑥 − 2) (6 + 6). (2 + √6 − 2) 12.4 𝟒𝟖




a) Determinar la imagen y el dominio de la parte homográfica:
5𝑥 −𝑑
𝐷𝑜𝑚 ( ) = ℝ − { } = ℝ − {5}
𝑥−5 𝑐
5𝑥 𝑎
𝐼𝑚 ( ) = ℝ − { } = ℝ − {5}
𝑥−5 𝑐
Hallar puntos de referencia para graficar la función:
Para la parte lineal:
x f(x)=x+1
0 1
-2 -1
Para la parte homográfica:
x f(x)=(5x)/(x-5)
0 0
10 10
5 indefinido

La gráfica de la función resulta: