Sumario Apuntes completos de análisis matemático I / cálculo diferencial e integral I

APUNTES COMPLETOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL I. FaCENA – UNNE
SERIES
Series aritméticas:
Consisten en la suma de todos los términos de una sucesión aritmética en la cual la
diferencia (d) entre dos términos consecutivos de la serie es constante. Esta suma puede ser
finita o infinita.
Ej:
100

∑ 𝑛 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100 = 5050 𝑑=1
𝑛=1

Para encontrar la suma parcial enésima de una serie aritmética, se generaliza el método
utilizado por Gauss para encontrar la suma de los primeros 100 números naturales:
𝑆𝑛 = 𝑎1 + (𝑎1 + 𝑑) + (𝑎1 + 2𝑑) + ⋯ + (𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)
𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + (𝑎𝑛 − 𝑑) + (𝑎𝑛 − 2𝑑) + ⋯ + (𝑎𝑛 − (𝑛 − 1)𝑑)
𝑆𝑛 + 𝑆𝑛 = 2𝑆𝑛 = (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + ⋯ (𝑎1 + 𝑎𝑛 )
2𝑆𝑛 = 𝑛(𝑎1 + 𝑎𝑛 )
𝒏
𝑺𝒏 = (𝒂 + 𝒂𝒏 )
𝟐 𝟏
Aplicado al ejemplo anterior:
100
𝑆100 = (1 + 100) = 50.101 = 5050
2

Series geométricas:
Resultan de la suma de los términos de una sucesión geométrica, las cuales tienen la
particularidad de que la razón (cociente) entre dos términos consecutivos de la sucesión es
constante. Esta suma puede ser finita o infinita.
Ej:
∞

∑ 2𝑛 = 2 + 22 + 23 + 24 + ⋯ + 2𝑛 𝑟=2
𝑛=1

Al igual que en el caso de las series aritméticas, se puede hallar la suma parcial enésima
de una serie geométrica. Considérese la serie geométrica:
∞

∑ 𝑎𝑟 𝑛−1 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑟 ∈ ℝ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑦 𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛
𝑛=1

𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−1
𝑟𝑆𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑟 3 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛