Rekendidactiek: Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Hoofdstuk 1, 2 en 3
Hoofdstuk 1: Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen.
Hoofdstuk 2: Verhoudingen
Hoofdstuk 3: Procenten
Hoofdstuk 6.3: Vakdidactiek Rekenen-wiskunde
Hoofdstuk 1: Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
§1.1.1 Overeenkomsten en verschillen
Er bestaan veel overeenkomsten tussen de domeinen verhoudingen, gebroken getallen en procenten.
Alle domeinen hebben een relatief aspect. Maar elk domein kent hun eigen gebruik en
verschijningsvormen.
§1.1.2 Absoluut en relatief
Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen. Bijvoor-
beeld: er zitten 536 personen op de pabo.
Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet
direct het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt aflezen. Bijvoorbeeld: een op de vier pabostudenten
is man.
Bij stroken staan vaak de absolute gegevens (getallen) en relatieve gegevens (percentages) beide
aangegeven. De strook maakt zichtbaar hoe je de verschillende relatieve gegevens met elkaar kunt
vergelijken.
§1.2 Onderlinge relaties
Om goed te kunnen rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen moeten
kinderen greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen deze sub domeinen.
§1.2.1 Begrip
Breuken en procenten
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Het kan weer worden gegeven op de
getallenlijn (absoluut), maar kan ook iets doen met een getal, hoeveelheid of prijs (operator).
Procenten zijn altijd een operator.
Hoofdstuk 2: Verhoudingen
§2.1 Verhoudingen zijn overal
Van jongs af aan komen we dagelijks in aanraking met verhoudingen. Bijvoorbeeld er staan grote en
kleine schoenen, dus als kind weet jij dat de kleine schoenen van jou zijn.
§2.1.1 Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen. Bijvoorbeeld de verhouding tussen het aantal jongens en het aantal meisjes op de
pabo. Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot (of klein) wordt, het
andere getal ook zoveel keer zo groot (of klein) wordt. Voorbeelden hiervan zijn de verhoudingen
tussen hoeveelheid en prijs, 1 liter kost 2 euro, dus 2 liter kost 4 euro.
Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden zoals lengte, gewicht en inhoud. Verhoudingen
maken het mogelijk om zaken met elkaar te vergelijken.
Snelheid en dichtheid worden samengestelde grootheden genoemd, ze bestaan uit twee of meer
grootheden. Bijvoorbeeld snelheid bestaat uit afstand en tijd.
Een andere veelvoorkomende verhouding is de schaal. De schaal geeft de verhouding aan tussen de
weergave van iets en de werkelijke grootte ervan, de schaal is altijd in dezelfde maateenheid.
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op honderd gesteld. Bij niet-
gestandaardiseerde verhoudingen kan het totaal van alles zijn, zoals bij 1 op de 7.
Frederike Zwiers
, Rekendidactiek: Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Kwantitatieve verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen, bijvoorbeeld 1 op
de 7 of deze kaart heeft een schaal van 1 : 80 000.
Kwalitatieve verhoudingen: een verhouding zonder getallen en wordt uitgedrukt in woorden,
bijvoorbeeld een kind is lang voor zijn leeftijd.
Interne en externe verhoudingen
Interne verhouding: als een verhouding één grootheid of eenheid betreft, bijvoorbeeld de spoorbomen
zijn 1 op de 10 minuten dicht of 1 op de 4 pabostudenten is een jongen.
Externe verhouding: een verhouding met twee verschillende grootheden, bijvoorbeeld de afgelegde
afstand in een bepaalde tijd of de prijs per gewicht.
Voorbeeld college 7:
Geef met behulp van bovenstaande tabellen (twee verhoudingstabellen, beide met afstand en tijd)
aan wat het verschil is tussen interne en externe verhoudingen.
Interne verhouding: verhoudingen binnen dezelfde grootheid, die zouden kunnen worden opgeteld,
dus bijvoorbeeld alleen de afstand in een tabel.
Externe verhouding: twee verschillende verhoudingen, bijvoorbeeld de verhoudingen tussen de
afstand en de tijd.
Verhoudingsdeling en verdelingsdeling
Bij een verhoudingsdeling representeren deeltal en deler hetzelfde, bijvoorbeeld 12 (snoepjes) : 3
(snoepjes) = .... Het gaat hierbij om de interne verhouding van het del ten opzichte van het geheel.
Bij een verdelingsdeling respresenteren deeltal en deler elk iets anders, bijvoorbeeld 12 (snoepjes) :4
(kinderen) = ....
Lineair verband
Een lineair verband is een verband tussen twee grootheden dat als grafiek een recht lijn heeft.
Wanneer de grafiek ook door de oorsprong gaat, is het ook een evenredig verband. Bijvoorbeeld als je
een auto huurt per dag heb je een lineair verband en een evenredig verband. Als de prijs wordt
bepaald doormiddel van een startbedrag, heb je alleen lineair verband.
Voorbeeldvraag college 7:
Een van de verschijningsvormen van verhoudingen is een lineair verband. - Geef met behulp van een
voorbeeld aan wat bedoeld wordt met een lineair verband.
Een lineair verband is een verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft. Hierbij
hoeft de grafiek niet door de oorsprong. Bijvoorbeeld: Je huurt een auto op vakantie en er is een
huurprijs per dag.
§2.1.2 Niet-evenredige verbanden
Sommige verbanden zijn niet evenredig en dus ook geen verhouding. Het gaat hier om verbanden
tussen lengte, oppervlakte en inhoud. Als iets twee keer zo groot wordt, betekent dat de hele lengte
twee keer verdubbeld: zowel in de lengte als in de breedte. De oppervlakte wordt dus vier keer zo
groot. De inhoud wordt in drie richtingen verdubbeld (lengte, diepte en hoogte) en wordt dus acht (2^3)
keer zo groot.
Frederike Zwiers
Hoofdstuk 1, 2 en 3
Hoofdstuk 1: Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen.
Hoofdstuk 2: Verhoudingen
Hoofdstuk 3: Procenten
Hoofdstuk 6.3: Vakdidactiek Rekenen-wiskunde
Hoofdstuk 1: Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
§1.1.1 Overeenkomsten en verschillen
Er bestaan veel overeenkomsten tussen de domeinen verhoudingen, gebroken getallen en procenten.
Alle domeinen hebben een relatief aspect. Maar elk domein kent hun eigen gebruik en
verschijningsvormen.
§1.1.2 Absoluut en relatief
Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen. Bijvoor-
beeld: er zitten 536 personen op de pabo.
Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet
direct het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt aflezen. Bijvoorbeeld: een op de vier pabostudenten
is man.
Bij stroken staan vaak de absolute gegevens (getallen) en relatieve gegevens (percentages) beide
aangegeven. De strook maakt zichtbaar hoe je de verschillende relatieve gegevens met elkaar kunt
vergelijken.
§1.2 Onderlinge relaties
Om goed te kunnen rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen moeten
kinderen greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen deze sub domeinen.
§1.2.1 Begrip
Breuken en procenten
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Het kan weer worden gegeven op de
getallenlijn (absoluut), maar kan ook iets doen met een getal, hoeveelheid of prijs (operator).
Procenten zijn altijd een operator.
Hoofdstuk 2: Verhoudingen
§2.1 Verhoudingen zijn overal
Van jongs af aan komen we dagelijks in aanraking met verhoudingen. Bijvoorbeeld er staan grote en
kleine schoenen, dus als kind weet jij dat de kleine schoenen van jou zijn.
§2.1.1 Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen. Bijvoorbeeld de verhouding tussen het aantal jongens en het aantal meisjes op de
pabo. Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot (of klein) wordt, het
andere getal ook zoveel keer zo groot (of klein) wordt. Voorbeelden hiervan zijn de verhoudingen
tussen hoeveelheid en prijs, 1 liter kost 2 euro, dus 2 liter kost 4 euro.
Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden zoals lengte, gewicht en inhoud. Verhoudingen
maken het mogelijk om zaken met elkaar te vergelijken.
Snelheid en dichtheid worden samengestelde grootheden genoemd, ze bestaan uit twee of meer
grootheden. Bijvoorbeeld snelheid bestaat uit afstand en tijd.
Een andere veelvoorkomende verhouding is de schaal. De schaal geeft de verhouding aan tussen de
weergave van iets en de werkelijke grootte ervan, de schaal is altijd in dezelfde maateenheid.
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op honderd gesteld. Bij niet-
gestandaardiseerde verhoudingen kan het totaal van alles zijn, zoals bij 1 op de 7.
Frederike Zwiers
, Rekendidactiek: Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Kwantitatieve verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen, bijvoorbeeld 1 op
de 7 of deze kaart heeft een schaal van 1 : 80 000.
Kwalitatieve verhoudingen: een verhouding zonder getallen en wordt uitgedrukt in woorden,
bijvoorbeeld een kind is lang voor zijn leeftijd.
Interne en externe verhoudingen
Interne verhouding: als een verhouding één grootheid of eenheid betreft, bijvoorbeeld de spoorbomen
zijn 1 op de 10 minuten dicht of 1 op de 4 pabostudenten is een jongen.
Externe verhouding: een verhouding met twee verschillende grootheden, bijvoorbeeld de afgelegde
afstand in een bepaalde tijd of de prijs per gewicht.
Voorbeeld college 7:
Geef met behulp van bovenstaande tabellen (twee verhoudingstabellen, beide met afstand en tijd)
aan wat het verschil is tussen interne en externe verhoudingen.
Interne verhouding: verhoudingen binnen dezelfde grootheid, die zouden kunnen worden opgeteld,
dus bijvoorbeeld alleen de afstand in een tabel.
Externe verhouding: twee verschillende verhoudingen, bijvoorbeeld de verhoudingen tussen de
afstand en de tijd.
Verhoudingsdeling en verdelingsdeling
Bij een verhoudingsdeling representeren deeltal en deler hetzelfde, bijvoorbeeld 12 (snoepjes) : 3
(snoepjes) = .... Het gaat hierbij om de interne verhouding van het del ten opzichte van het geheel.
Bij een verdelingsdeling respresenteren deeltal en deler elk iets anders, bijvoorbeeld 12 (snoepjes) :4
(kinderen) = ....
Lineair verband
Een lineair verband is een verband tussen twee grootheden dat als grafiek een recht lijn heeft.
Wanneer de grafiek ook door de oorsprong gaat, is het ook een evenredig verband. Bijvoorbeeld als je
een auto huurt per dag heb je een lineair verband en een evenredig verband. Als de prijs wordt
bepaald doormiddel van een startbedrag, heb je alleen lineair verband.
Voorbeeldvraag college 7:
Een van de verschijningsvormen van verhoudingen is een lineair verband. - Geef met behulp van een
voorbeeld aan wat bedoeld wordt met een lineair verband.
Een lineair verband is een verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft. Hierbij
hoeft de grafiek niet door de oorsprong. Bijvoorbeeld: Je huurt een auto op vakantie en er is een
huurprijs per dag.
§2.1.2 Niet-evenredige verbanden
Sommige verbanden zijn niet evenredig en dus ook geen verhouding. Het gaat hier om verbanden
tussen lengte, oppervlakte en inhoud. Als iets twee keer zo groot wordt, betekent dat de hele lengte
twee keer verdubbeld: zowel in de lengte als in de breedte. De oppervlakte wordt dus vier keer zo
groot. De inhoud wordt in drie richtingen verdubbeld (lengte, diepte en hoogte) en wordt dus acht (2^3)
keer zo groot.
Frederike Zwiers
