Series (Resumen de apuntes)
,Series.
Antes de hablar de una serie se debe tener conocimiento del significado de una
sucesión.
Una sucesión es una colección o conjunto de términos reales, los cuales están
formados por una ley o regla determinada.
Ejemplo:
𝑥 𝑥 𝑥
3 , 5 , 7 , 21 𝑦 1 , 𝑥 , , ,
2 3 4
Son sucesiones.
Por un lado una serie es la suma indicada de los términos de una sucesión.
Ejemplo: de las sucesiones anteriores se obtiene la siguiente serie.
𝑥 𝑥 𝑥
3 + 5 + 7 + 21 + ⋯ 𝑦 1+𝑥+ + + +⋯
2 3 4
Los tres puntos designan la continuación de la serie (…).
Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es
finita, y cuando el número es ilimitado, la sucesión o serie se designa como
infinita. Se debe recalcar que también una serie posee un término general o
término enésimo (𝑛) el cual está determinado por la ley de formación de términos.
Ejemplo:
𝑆𝑛 = 1 + 4 + 9 + 16 + ⋯ + 𝑛2 + ⋯
Serie Geométrica.
Es la suma de un número infinito cuyos términos que tienen una razón y una
constante entre sus términos sucesivos.
∞
∑ 𝑎𝑟 𝑛−1 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑟 3 + 𝑎𝑟 4 + ⋯
𝑛=1
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 = 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 ; 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒, 𝑎 ≠ 0 ; 𝑟 ≠ 0 ; 𝑟 ≠ ±1
Convergencia de la serie geométrica. Planteando lo siguiente:
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑟 3 + 𝑎𝑟 4 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−1 + ⋯
𝑟𝑆𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 3 + 𝑎𝑟 4 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛 + ⋯
𝑆𝑛 − 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟 𝑛
𝑎(1 − 𝑎𝑟 𝑛 )
𝑆𝑛 =
1−𝑟
, Evaluando 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 en los siguientes intervalos.
−1 ≤ 𝑟 ≤ 1 ; lim 𝑎𝑟 𝑛 = 0
𝑛−→∞
𝑟 > 1 ; lim 𝑎𝑟 𝑛 = ∞
𝑛−→∞
𝑟 < −1 ; lim 𝑎𝑟 𝑛 = ∄
𝑛−→∞
Entonces la serie converge sí.
𝑎
|𝑟| ≤ 1 , ya que lim 𝑎𝑟 𝑛 =
𝑛−→∞ 1−𝑟
Ejemplo.
∞
1 𝑛 1 1 1 2 1 3
∑( ) =( ) + ( ) + ( ) + ⋯
2 2 2 2
𝑛=1
𝑎 = 1/2
1 3
𝑎𝑟 𝑛 (2) 1
𝑟= = 3−1 =
𝑎𝑟 𝑛−1 1 2
(2 )
1
2 = 1 ; 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒.
1
1 − (2)
,Series.
Antes de hablar de una serie se debe tener conocimiento del significado de una
sucesión.
Una sucesión es una colección o conjunto de términos reales, los cuales están
formados por una ley o regla determinada.
Ejemplo:
𝑥 𝑥 𝑥
3 , 5 , 7 , 21 𝑦 1 , 𝑥 , , ,
2 3 4
Son sucesiones.
Por un lado una serie es la suma indicada de los términos de una sucesión.
Ejemplo: de las sucesiones anteriores se obtiene la siguiente serie.
𝑥 𝑥 𝑥
3 + 5 + 7 + 21 + ⋯ 𝑦 1+𝑥+ + + +⋯
2 3 4
Los tres puntos designan la continuación de la serie (…).
Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es
finita, y cuando el número es ilimitado, la sucesión o serie se designa como
infinita. Se debe recalcar que también una serie posee un término general o
término enésimo (𝑛) el cual está determinado por la ley de formación de términos.
Ejemplo:
𝑆𝑛 = 1 + 4 + 9 + 16 + ⋯ + 𝑛2 + ⋯
Serie Geométrica.
Es la suma de un número infinito cuyos términos que tienen una razón y una
constante entre sus términos sucesivos.
∞
∑ 𝑎𝑟 𝑛−1 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑟 3 + 𝑎𝑟 4 + ⋯
𝑛=1
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 = 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 ; 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒, 𝑎 ≠ 0 ; 𝑟 ≠ 0 ; 𝑟 ≠ ±1
Convergencia de la serie geométrica. Planteando lo siguiente:
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑟 3 + 𝑎𝑟 4 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−1 + ⋯
𝑟𝑆𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 3 + 𝑎𝑟 4 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛 + ⋯
𝑆𝑛 − 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟 𝑛
𝑎(1 − 𝑎𝑟 𝑛 )
𝑆𝑛 =
1−𝑟
, Evaluando 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 en los siguientes intervalos.
−1 ≤ 𝑟 ≤ 1 ; lim 𝑎𝑟 𝑛 = 0
𝑛−→∞
𝑟 > 1 ; lim 𝑎𝑟 𝑛 = ∞
𝑛−→∞
𝑟 < −1 ; lim 𝑎𝑟 𝑛 = ∄
𝑛−→∞
Entonces la serie converge sí.
𝑎
|𝑟| ≤ 1 , ya que lim 𝑎𝑟 𝑛 =
𝑛−→∞ 1−𝑟
Ejemplo.
∞
1 𝑛 1 1 1 2 1 3
∑( ) =( ) + ( ) + ( ) + ⋯
2 2 2 2
𝑛=1
𝑎 = 1/2
1 3
𝑎𝑟 𝑛 (2) 1
𝑟= = 3−1 =
𝑎𝑟 𝑛−1 1 2
(2 )
1
2 = 1 ; 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒.
1
1 − (2)
