UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO–MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS ELEMENTALES
PUEBLA, PUE., OTOÑO DE 2010
(rev. 6 de mayo de 2015)
,A esa
de quien olvidé sus generales
pero recuerdo sus particulares
, PROLEGOMENO
El verano de 1991 vio nacer un libro escrito por un grupo de profe-
sores de la Facultad de Ciencias Fı́sico–Matemáticas —“La Comisión”
(Celestino Soriano Soriano, Juan Angoa Amador, Jaime Arroyo Garcı́a
David Herrera Carrasco, Agustı́n Contreras Carreto, Fernando Velázquez
Castillo y Raúl Linares Garcı́a) — y que lleva el mismo nombre que la
materia para la que serv ı́a de texto: “Matemáticas Básicas”. En vista de
la “renovación” de los planes de estudio realizadas en la B.U.A.P. desde
1992, fue necesaria la adaptación de dicha obra, introduciendo algunos
temas, reduciendo otros y transformando otros más, hasta dar a luz a un
un hijo bastardo del “Matemáticas Básicas” en la misma facultad, pero
cuatro veranos después que su padre, y con una finalidad análoga: servir
de texto para el curso que le dá nombre: “Matemáticas Elementales”.
Los parteros —“Una subcomisión” de la “La Comisión– esperan con
fervor que, en este nene, los genes heredados y las mutaciones operadas,
sean las adecuadas ya que, de resultar contrahecho, tendrá que ser aban-
donado en “la Peña”de los espartanos y los únicos responsables de ello
—“Una subcomisión– serán merecedores de una “actuación” en el circo
romano.
El trabajo de transcribir nuestro manuscrito a LATEX, fue realmente
ciclópeo. Agradecemos infinitamente a Luis Alberto Torres Ramı́rez el
que se hubiera animado a realizarlo.
ATENTAMENTE
“Una subcomisión”
J. Juan Angoa Amador
Agustı́n Contreras Carreto
Manuel Ibarra Contreras
Raúl Linares Gracia
Armando Martı́nez Garcı́a
, Índice general
1. Lógica 1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Proposiciones lógicas y conectivos . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Tablas de verdad y equivalencias . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6. Métodos de Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.1. Demostraciones directas. . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.2. Demostraciones indirectas. . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.3. Ejemplos y contraejemplos . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7. Apéndice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8. Apéndice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2. Conjuntos 48
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2. Conjunto Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4. Igualdad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5. Construcción de nuevos conjuntos a partir de otros . . . . 63
3. Números reales 73
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2. Consecuencias de los Axiomas de Campo . . . . . . . . . . 76
3.3. Consecuencias de los Axiomas de Orden . . . . . . . . . . 90
3.4. El Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.5. Los números Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.6. Números Enteros, Racionales e Irracionales . . . . . . . . . 146
iii
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO–MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS ELEMENTALES
PUEBLA, PUE., OTOÑO DE 2010
(rev. 6 de mayo de 2015)
,A esa
de quien olvidé sus generales
pero recuerdo sus particulares
, PROLEGOMENO
El verano de 1991 vio nacer un libro escrito por un grupo de profe-
sores de la Facultad de Ciencias Fı́sico–Matemáticas —“La Comisión”
(Celestino Soriano Soriano, Juan Angoa Amador, Jaime Arroyo Garcı́a
David Herrera Carrasco, Agustı́n Contreras Carreto, Fernando Velázquez
Castillo y Raúl Linares Garcı́a) — y que lleva el mismo nombre que la
materia para la que serv ı́a de texto: “Matemáticas Básicas”. En vista de
la “renovación” de los planes de estudio realizadas en la B.U.A.P. desde
1992, fue necesaria la adaptación de dicha obra, introduciendo algunos
temas, reduciendo otros y transformando otros más, hasta dar a luz a un
un hijo bastardo del “Matemáticas Básicas” en la misma facultad, pero
cuatro veranos después que su padre, y con una finalidad análoga: servir
de texto para el curso que le dá nombre: “Matemáticas Elementales”.
Los parteros —“Una subcomisión” de la “La Comisión– esperan con
fervor que, en este nene, los genes heredados y las mutaciones operadas,
sean las adecuadas ya que, de resultar contrahecho, tendrá que ser aban-
donado en “la Peña”de los espartanos y los únicos responsables de ello
—“Una subcomisión– serán merecedores de una “actuación” en el circo
romano.
El trabajo de transcribir nuestro manuscrito a LATEX, fue realmente
ciclópeo. Agradecemos infinitamente a Luis Alberto Torres Ramı́rez el
que se hubiera animado a realizarlo.
ATENTAMENTE
“Una subcomisión”
J. Juan Angoa Amador
Agustı́n Contreras Carreto
Manuel Ibarra Contreras
Raúl Linares Gracia
Armando Martı́nez Garcı́a
, Índice general
1. Lógica 1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Proposiciones lógicas y conectivos . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Tablas de verdad y equivalencias . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6. Métodos de Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.1. Demostraciones directas. . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.2. Demostraciones indirectas. . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.3. Ejemplos y contraejemplos . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7. Apéndice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8. Apéndice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2. Conjuntos 48
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2. Conjunto Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4. Igualdad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5. Construcción de nuevos conjuntos a partir de otros . . . . 63
3. Números reales 73
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2. Consecuencias de los Axiomas de Campo . . . . . . . . . . 76
3.3. Consecuencias de los Axiomas de Orden . . . . . . . . . . 90
3.4. El Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.5. Los números Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.6. Números Enteros, Racionales e Irracionales . . . . . . . . . 146
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