, 51st International Mathematical Olympiad
Astana, Kazakhstan 2010
Shortlisted Problems with Solutions
,
, Contents
Note of Confidentiality 5
Contributing Countries & Problem Selection Committee 5
Algebra 7
Problem A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Problem A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Problem A3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Problem A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Problem A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Problem A6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Problem A7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Problem A8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Combinatorics 23
Problem C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Problem C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Problem C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Problem C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Problem C41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Problem C5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Problem C6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Problem C7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Geometry 44
Problem G1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Problem G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Problem G3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Problem G4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Problem G5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Problem G6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Problem G61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Problem G7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Number Theory 64
Problem N1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Problem N11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Problem N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Problem N3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Problem N4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Problem N5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Problem N6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Astana, Kazakhstan 2010
Shortlisted Problems with Solutions
,
, Contents
Note of Confidentiality 5
Contributing Countries & Problem Selection Committee 5
Algebra 7
Problem A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Problem A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Problem A3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Problem A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Problem A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Problem A6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Problem A7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Problem A8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Combinatorics 23
Problem C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Problem C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Problem C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Problem C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Problem C41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Problem C5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Problem C6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Problem C7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Geometry 44
Problem G1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Problem G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Problem G3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Problem G4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Problem G5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Problem G6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Problem G61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Problem G7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Number Theory 64
Problem N1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Problem N11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Problem N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Problem N3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Problem N4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Problem N5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Problem N6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
