Examen HAVO
2017
tijdvak 1
vrijdag 19 mei
13.30 - 16.30 uur
oud programma wiskunde A
Dit examen bestaat uit 20 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1024-h-17-1-o
, Distributieriem
Een distributieriem is een geribbelde
riem die in een moderne
verbrandingsmotor van een auto zit.
Zo’n riem heeft ten opzichte van een
ketting voordelen: hij maakt minder distributieriem
lawaai en er is geen smering nodig.
Een riem heeft als nadeel dat hij slijt
en op een gegeven moment defect
raakt. Een defecte riem veroorzaakt
veel schade aan de motor. Het is dus belangrijk om de distributieriem te
vervangen voordat die defect raakt. Dit noemt men preventief vervangen.
De levensduur van een distributieriem is het aantal kilometers dat ermee
gereden wordt tot de riem defect raakt. We gaan ervan uit dat de
levensduur van distributieriemen normaal verdeeld is met een gemiddelde
van 91 000 km en een standaardafwijking van 10 000 km.
Automonteurs adviseren om de riem bij 60 000 km preventief te laten
vervangen.
3p 1 Bereken de kans dat een distributieriem al defect is vóór de preventieve
vervanging bij 60 000 km. Rond je antwoord af op vijf decimalen.
Omdat deze kans zo klein is, wil een autobezitter de riem niet al bij
60 000 km vervangen, maar pas na veel meer kilometers. Hij wil echter
niet dat de kans op een defecte riem groter is dan 0,10.
3p 2 Bereken het maximale aantal kilometers waarbij hij dan de riem preventief
kan laten vervangen.
Ineke heeft 60 000 km gereden met haar distributieriem. Het komende jaar
verwacht zij 10 000 km te rijden. Zij staat voor de afweging: laat ik nu de
riem preventief vervangen of probeer ik het nog een jaar?
Ineke vergelijkt de kosten. Een nieuwe distributieriem kost € 505. Als ze
de distributieriem nu preventief laat vervangen, is ze dus € 505 kwijt,
maar dan kan ze ervan uitgaan dat de nieuwe riem het komende jaar
geen problemen oplevert.
Als ze de distributieriem niet laat vervangen, zijn er twee mogelijkheden.
De riem die ze heeft, raakt niet defect en dan heeft ze geen kosten. Maar
als de riem in het komende jaar defect raakt, kosten een nieuwe riem en
het repareren van de schade aan de motor haar € 2200. Ineke vraagt zich
af of ze dat risico wil lopen.
HA-1024-h-17-1-o lees verder ►►►
, In de garage gebruikt men een tabel waarin je kunt aflezen hoe groot de
kans p is dat de distributieriem in het komende jaar defect raakt. Zie
tabel 1. Je ziet bijvoorbeeld dat iemand die 75 000 km gereden heeft met
een distributieriem en daarmee het komende jaar 14 000 km zal gaan
rijden, een kans van 0,39 heeft op een defecte distributieriem.
tabel 1
verwachte aantal te rijden kilometers (x 1000)
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
60 0,01 0,02 0,03 0,04 0,07 0,10 0,13 0,18 0,24 0,31 0,38 0,46
aantal gereden
kilometers met
distributieriem
65 0,03 0,05 0,08 0,11 0,15 0,21 0,27 0,34 0,42 0,50 0,58 0,65
(x 1000)
70 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30 0,37 0,45 0,53 0,61 0,69 0,75 0,81
75 0,17 0,23 0,31 0,39 0,47 0,55 0,64 0,71 0,78 0,83 0,88 0,91
80 0,29 0,38 0,47 0,56 0,64 0,72 0,79 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97
85 0,42 0,53 0,62 0,71 0,78 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99
Ineke maakt een kansverdeling van de kosten in het geval ze de riem niet
laat vervangen. Zie tabel 2. Hierin is p de kans dat de riem in het
komende jaar defect raakt.
tabel 2
Kosten (in euro) wanneer de riem niet vervangen wordt 0 2200
Kans 1 p p
Ineke, die al 60 000 km heeft gereden met haar distributieriem en in het
komende jaar verwacht 10 000 km te rijden, laat de distributieriem
vervangen als de kosten van preventieve vervanging lager zijn dan de
verwachtingswaarde van de kosten wanneer ze de riem niet laat
vervangen.
4p 3 Zal Ineke haar distributieriem preventief laten vervangen? Licht je
antwoord toe met een berekening.
Ineke heeft besloten om haar distributieriem niet preventief te laten
vervangen en ze rijdt het daaropvolgende jaar 10 000 kilometer zonder
problemen. Maar na dat jaar staat ze opnieuw voor de beslissing:
preventief laten vervangen of niet?
Ook nu wil ze haar distributieriem preventief laten vervangen als de
kosten hiervan lager zijn dan de verwachtingswaarde van de kosten
wanneer ze de riem niet preventief laat vervangen. Het aantal te rijden
kilometers in het daaropvolgende jaar staat voor haar echter nog niet
vast.
Bij een bepaald aantal te rijden kilometers zijn de kosten van preventieve
vervanging even hoog als de verwachtingswaarde van de kosten wanneer
ze haar distributieriem niet preventief laat vervangen.
5p 4 Onderzoek bij welk aantal kilometers dit het geval is.
HA-1024-h-17-1-o lees verder ►►►
, Kleurentorentjes
Kleurentorentjes is een spel voor figuur 1
kleine kinderen. Bij dit spel horen
vier setjes van zes kralen in zes
verschillende kleuren, namelijk
blauw, groen, rood, oranje, geel en
wit. Ook hoort bij dit spel een
dobbelsteen met op elk zijvlak
een van de genoemde kleuren.
Elke speler krijgt een setje kralen
en een staafje. Zie figuur 1.
In de spelregels staat dat elke speler met figuur 2
behulp van de dobbelsteen zijn torentje moet
opbouwen in de volgorde die in figuur 2 is
aangegeven. De spelers gooien om en om
met de dobbelsteen. Als een speler de kleur
gooit die volgens figuur 2 aan de beurt is,
dan mag hij de kraal met die kleur op zijn
staafje plaatsen, waarna zijn beurt voorbij is.
Als hij een andere kleur gooit, dan mag hij
geen kraal plaatsen en is zijn beurt meteen
voorbij. Wie het eerst zijn torentje heeft
opgebouwd, is de winnaar.
Chris gaat het spel met zijn oma spelen. Hij
weet dat hij eerst blauw moet gooien, omdat
dat de onderste kleur is in figuur 2.
3p 5 Bereken de kans dat Chris, nadat hij drie
keer aan de beurt is geweest, nog steeds
geen blauw heeft gegooid.
Als oma drie keer aan de beurt is geweest, kan ze óf geen kralen op haar
staafje hebben óf één (een blauwe) óf twee (een blauwe en een groene)
óf drie (een blauwe, een groene en een rode).
4p 6 Bereken de kans dat de groene kraal op het staafje van oma zit, nadat zij
drie keer aan de beurt is geweest.
HA-1024-h-17-1-o lees verder ►►►
2017
tijdvak 1
vrijdag 19 mei
13.30 - 16.30 uur
oud programma wiskunde A
Dit examen bestaat uit 20 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1024-h-17-1-o
, Distributieriem
Een distributieriem is een geribbelde
riem die in een moderne
verbrandingsmotor van een auto zit.
Zo’n riem heeft ten opzichte van een
ketting voordelen: hij maakt minder distributieriem
lawaai en er is geen smering nodig.
Een riem heeft als nadeel dat hij slijt
en op een gegeven moment defect
raakt. Een defecte riem veroorzaakt
veel schade aan de motor. Het is dus belangrijk om de distributieriem te
vervangen voordat die defect raakt. Dit noemt men preventief vervangen.
De levensduur van een distributieriem is het aantal kilometers dat ermee
gereden wordt tot de riem defect raakt. We gaan ervan uit dat de
levensduur van distributieriemen normaal verdeeld is met een gemiddelde
van 91 000 km en een standaardafwijking van 10 000 km.
Automonteurs adviseren om de riem bij 60 000 km preventief te laten
vervangen.
3p 1 Bereken de kans dat een distributieriem al defect is vóór de preventieve
vervanging bij 60 000 km. Rond je antwoord af op vijf decimalen.
Omdat deze kans zo klein is, wil een autobezitter de riem niet al bij
60 000 km vervangen, maar pas na veel meer kilometers. Hij wil echter
niet dat de kans op een defecte riem groter is dan 0,10.
3p 2 Bereken het maximale aantal kilometers waarbij hij dan de riem preventief
kan laten vervangen.
Ineke heeft 60 000 km gereden met haar distributieriem. Het komende jaar
verwacht zij 10 000 km te rijden. Zij staat voor de afweging: laat ik nu de
riem preventief vervangen of probeer ik het nog een jaar?
Ineke vergelijkt de kosten. Een nieuwe distributieriem kost € 505. Als ze
de distributieriem nu preventief laat vervangen, is ze dus € 505 kwijt,
maar dan kan ze ervan uitgaan dat de nieuwe riem het komende jaar
geen problemen oplevert.
Als ze de distributieriem niet laat vervangen, zijn er twee mogelijkheden.
De riem die ze heeft, raakt niet defect en dan heeft ze geen kosten. Maar
als de riem in het komende jaar defect raakt, kosten een nieuwe riem en
het repareren van de schade aan de motor haar € 2200. Ineke vraagt zich
af of ze dat risico wil lopen.
HA-1024-h-17-1-o lees verder ►►►
, In de garage gebruikt men een tabel waarin je kunt aflezen hoe groot de
kans p is dat de distributieriem in het komende jaar defect raakt. Zie
tabel 1. Je ziet bijvoorbeeld dat iemand die 75 000 km gereden heeft met
een distributieriem en daarmee het komende jaar 14 000 km zal gaan
rijden, een kans van 0,39 heeft op een defecte distributieriem.
tabel 1
verwachte aantal te rijden kilometers (x 1000)
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
60 0,01 0,02 0,03 0,04 0,07 0,10 0,13 0,18 0,24 0,31 0,38 0,46
aantal gereden
kilometers met
distributieriem
65 0,03 0,05 0,08 0,11 0,15 0,21 0,27 0,34 0,42 0,50 0,58 0,65
(x 1000)
70 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30 0,37 0,45 0,53 0,61 0,69 0,75 0,81
75 0,17 0,23 0,31 0,39 0,47 0,55 0,64 0,71 0,78 0,83 0,88 0,91
80 0,29 0,38 0,47 0,56 0,64 0,72 0,79 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97
85 0,42 0,53 0,62 0,71 0,78 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99
Ineke maakt een kansverdeling van de kosten in het geval ze de riem niet
laat vervangen. Zie tabel 2. Hierin is p de kans dat de riem in het
komende jaar defect raakt.
tabel 2
Kosten (in euro) wanneer de riem niet vervangen wordt 0 2200
Kans 1 p p
Ineke, die al 60 000 km heeft gereden met haar distributieriem en in het
komende jaar verwacht 10 000 km te rijden, laat de distributieriem
vervangen als de kosten van preventieve vervanging lager zijn dan de
verwachtingswaarde van de kosten wanneer ze de riem niet laat
vervangen.
4p 3 Zal Ineke haar distributieriem preventief laten vervangen? Licht je
antwoord toe met een berekening.
Ineke heeft besloten om haar distributieriem niet preventief te laten
vervangen en ze rijdt het daaropvolgende jaar 10 000 kilometer zonder
problemen. Maar na dat jaar staat ze opnieuw voor de beslissing:
preventief laten vervangen of niet?
Ook nu wil ze haar distributieriem preventief laten vervangen als de
kosten hiervan lager zijn dan de verwachtingswaarde van de kosten
wanneer ze de riem niet preventief laat vervangen. Het aantal te rijden
kilometers in het daaropvolgende jaar staat voor haar echter nog niet
vast.
Bij een bepaald aantal te rijden kilometers zijn de kosten van preventieve
vervanging even hoog als de verwachtingswaarde van de kosten wanneer
ze haar distributieriem niet preventief laat vervangen.
5p 4 Onderzoek bij welk aantal kilometers dit het geval is.
HA-1024-h-17-1-o lees verder ►►►
, Kleurentorentjes
Kleurentorentjes is een spel voor figuur 1
kleine kinderen. Bij dit spel horen
vier setjes van zes kralen in zes
verschillende kleuren, namelijk
blauw, groen, rood, oranje, geel en
wit. Ook hoort bij dit spel een
dobbelsteen met op elk zijvlak
een van de genoemde kleuren.
Elke speler krijgt een setje kralen
en een staafje. Zie figuur 1.
In de spelregels staat dat elke speler met figuur 2
behulp van de dobbelsteen zijn torentje moet
opbouwen in de volgorde die in figuur 2 is
aangegeven. De spelers gooien om en om
met de dobbelsteen. Als een speler de kleur
gooit die volgens figuur 2 aan de beurt is,
dan mag hij de kraal met die kleur op zijn
staafje plaatsen, waarna zijn beurt voorbij is.
Als hij een andere kleur gooit, dan mag hij
geen kraal plaatsen en is zijn beurt meteen
voorbij. Wie het eerst zijn torentje heeft
opgebouwd, is de winnaar.
Chris gaat het spel met zijn oma spelen. Hij
weet dat hij eerst blauw moet gooien, omdat
dat de onderste kleur is in figuur 2.
3p 5 Bereken de kans dat Chris, nadat hij drie
keer aan de beurt is geweest, nog steeds
geen blauw heeft gegooid.
Als oma drie keer aan de beurt is geweest, kan ze óf geen kralen op haar
staafje hebben óf één (een blauwe) óf twee (een blauwe en een groene)
óf drie (een blauwe, een groene en een rode).
4p 6 Bereken de kans dat de groene kraal op het staafje van oma zit, nadat zij
drie keer aan de beurt is geweest.
HA-1024-h-17-1-o lees verder ►►►
