Hoofdstuk 8 Portfolio theory and the capital model of asset pricing model
De gebruikelijke maat voor spreiding is de standaarddeviatie of variantie. Het risico
van een aandeel kan in twee delen worden opgesplitst. Er is het specifieke of diversifieerbare risico
dat eigen is aan dat aandeel, en er is het marktrisico dat gepaard gaat met marktbrede variaties.
Welk risico kunnen beleggers niet uitsluiten?
Beleggers kunnen specifieke risico’s uitsluiten door een goed gediversifieerde portefeuille aan te
houden, maar ze kunnen het marktrisico niet uitsluiten.
BÈTA
Het risico van een goed gespreide portefeuille hangt af van zijn gevoeligheid voor
marktveranderingen. Bèta.
Beta van aandeel is: Covariantie van opbrengst aandeel vs opbrengst markt / Variantie van
opbrengst markt
Wat betekent een effect met een bèta van 1,0 ?
Dit effect heeft een gemiddeld marktrisico: een goed gediversifieerde portefeuille van dergelijke
effecten heeft dezelfde standaarddeviatie als de marktindex.
Aandelen met een Beta groter dan 1? reageren heftiger dan de markt.
Wat betekent een effect met een bèta van 0,5 ?
Deze heeft een beneden gemiddeld marktrisico. Een goed gediversifieerde portefeuille van deze
effecten beweegt zich meestal half zo ver als de markt beweegt en heeft de helft van de
standaarddeviatie van de markt.
Aandelen met een Beta tussen de 0 en 1 reageren minder heftig dan de markt.
Wat betekent bèta 0? Een bèta van 0 betekent niet dat er geen rendement gemaakt kan worden.
Bèta 0, betekent geen risico, dus geen risicopremie.
Een Beta onder de 0 betekent? dat de aandelen tegengesteld op de markt reageren.
De minst risicovolle belegging is de U.S. Treasury bill (schatkistpapier). Dit rendement staat vast en
wordt niet door de markt beïnvloed. Met andere woorden, T-Bills hebben een Bèta van 0. De
marktportefeuille heeft een bèta van 1.
8-1
Wat is de moderne portefeuilletheorie ( MPT) van Harry Markowitz?
De moderne portefeuilletheorie, ook bekend als de Modern Portfolio Theory (MPT), is een
economisch raamwerk waarmee beleggers minimale marktrisico’s proberen te nemen en
,maximaal rendement behalen voor een bepaalde beleggingsportefeuille door aandelen te kiezen
die niet gelijk aan elkaar bewegen.
In de theorie wordt benadrukt dat risico inherent is aan een hogere opbrengst, en dat het niet
voldoende is om naar het verwachte risico en rendement van één enkel aandeel te kijken. Door in
meerdere aandelen te beleggen kan een investeerder beter profiteren van de voordelen van
diversificatie. Diversificatie vermindert risico’s. Zo zou een combinatie van portefeuilles A en B
minder risico inhouden dan het gemiddelde van A en B. (efficiënte portofolio’s). Diversificatie is
de leidende gedachte achter de moderne portefeuille theorie.
Het risico van afzonderlijke aandelen is hoger dan het risico van aandelen in een gecombineerde
portefeuille, op voorwaarde dat de risico’s van die verschillende aandelen niet een direct verband
houden.
Verwacht rendement berekenen
Het verwachte rendement van een gecombineerde set aandelen, de portefeuille, wordt berekend
als een gewogen som van het rendement van de individuele aandelen. Stel een portefeuille
bestaat uit 5 aandelen met een verwacht rendement van 3, 6, 9, 12 en 15%, dan is de som voor
het berekenen van het gemiddelde verwachte rendement:
Verwachte rendement = (3% x 20%) + (6% x 20%) + (9% x 20%) + (12% x 20%) + (15% x 20%)
Rendementsrapportages uit het verleden komen redelijk overeen met een ‘normale verdeling’ (bij
korte interval).
Indien de rendementen van een aandeel normaal verdeeld worden zijn expected return en
standaarddeviatie de enige maatstaven waar een investeerder naar moet kijken
CORRELATIE
Nadat de verwachte waarde is vastgesteld is de tweede stap is om te focussen op het
fluctuatiebereik van het rendement omdat beleggersontwikkelingen kunnen afwijken van de
verwachtingen. Daarbij wordt gekeken naar de standaarddeviatie van de verwachte opbrengsten.
Dat helpt bij het bepalen van uitschieters in beide richtingen.
Er moet worden vastgesteld of er een onderlinge samenhang is tussen investeringen. Dat wordt
correlatie genoemd. Correlatie heeft een waarde van tussen de 1 en -1.
Indien een waarde schommeling van een aandeel niet altijd reageert op de waarde schommeling van
een ander aandeel is de correlatie zwak en dichterbij 0. Investeringen en onderlinge waarde
schommelingen kunnen ook een negatieve correlatie hebben. In dat geval leidt een waardestijging
van een aandeel tot een lagere waarde van een ander aandeel. Een voorbeeld van een negatieve
correlatie tussen aandelen is de relatie tussen nationale aandelenindexen, en de prijs van goud.
Wanneer een nationale aandelenindex stijgt, daalt de goudprijs meestal.
Het voordeel van diversificatie hangt af van de mate waarin de aandelen gecorreleerd zijn.
,Correlation: de mate waarin twee effecten tegelijkertijd dezelfde richting op bewegen.
Als aandelen precies in dezelfde pas zouden bewegen is er helemaal geen voordeel van diversificatie.
P=+1
Correlatiecoëfficiënt is een maat voor de sterkte van de lineaire samenhang tussen X en Y. De
waarde kan variëren van -1 tot 1. Een correlatiecoëfficiënt van +1 of -1 betekent dat er een lineair
verband is tussen de beide variabelen. Bij een verband in tegengestelde richting tussen 2 aandelen is
de waarde negatief tot maximaal -1. Als de aandelen op dezelfde manier reageren is de waarde
positief. Als ze exact hetzelfde zijn is de waarde +1. Een correlatiecoëfficiënt van 0 wil zeggen dat er
totaal geen lineaire samenhang is. Er kan echter wel een kwadratisch of ander verband zijn.
Wat betekent het als aandelen perfect negatief gecorreleerd aan elkaar zijn? P=- 1
Dan loopt de portefeuille geen risico. Maar is een onrealistisch beeld. Zie figuur 8.3 op blz. 195
Efficient portfolios: portfolios met het hoogste verwachte rendement met een minimum aan risico
(Markowitz)
In figuur 8.4 betekent elke plot een andere combinatie van risico en rendement. Welke combinatie is
het beste? Dat hangt af van je doel. Hoe hoger de lijn, hoe hoger het rendement. Naar links = minder
risico. De efficiënte portefeuilles zijn gesitueerd langs de lijn.
Als je een efficiente portfolio wil vinden moet je alle mogelijke portfolios van combinaties tussen
verschillende effecten laten plotten. Dan kan je vanaf het punt vanaf risicovrij lenen een streep
trekken zodat het je het portfolio net raakt. Dat is het meest efficiente portfolio.
Je kunt de niveaus van rendement en standaarddeviatie vergroten en verkleinen door te lenen of te
beleggen in obligaties. Je kunt deze dan gewogen tegen elkaar wegstrepen. Stel dat je de helft belegt
in obligaties dan gaat je standaarddeviatie ook met de helft omlaag. Verwachtte rendement is dan
rendement op aandelen plus rendement op obligaties delen door 2.
, BORROWING AND LENDING
Stel dat je geld kunt lenen en uitlenen tegen een risicovrije rentevoet. Als je een deel van je geld
belegt in schatkistcertificaten (geld lenen) en de rest in een gewone aandelenportefeuille S plaatst,
kun je elke combinatie van verwacht rendement en risico langs de rechte lijn krijgen, rf en S.
Omdat uitlenen een negatieve lening is, kun je de mogelijkheden uitbreiden aan de rechterkant van
S, (zie plaatje hierboven) door geld te lenen tegen een risicovrije rente ( rf) en dit samen met je geld
tegen een te betalen rente beleggen in S.
In figuur 8.5 hierboven zie je bij ‘lending’(onderkant van de streep) dat je halverwege rf en S eindigt.
Aan de bovenkant van de streep, ‘borrowing’ zie je dat de mogelijkheden bóven S uitkomen.
Ongeacht het risiconiveau je kiest, je krijgt het hoogst verwachte rendement door een mix van
portfolio S én borrowing of lending. Daar waar de streep de rode lijn raakt, is de efficiënte
portefeuille; beter dan alle anderen. Het is de hoogste verhouding tussen rendement en
standaarddeviatie. Deze verhouding wordt de Sharpe ratio genoemd.
Sharpe ratio berekenen: geeft aan hoe goed je portfolio rendeert ten aanzien van de
standaarddeviatie. Dit getal wil je dus natuurlijk zo hoog mogelijk hebben. Je berekent de sharpe
ratio door de risicovrije rente (rf) af te trekken van het verwachte rendement (r) van elke portefeuille
en delen door de standaarddeviatie.
riskpremium/standarddeviation. r-rf
σ
Stel je kunt lenen en uitlenen tegen 12% interest, risicovrij r=18 standaarddeviatie= 32
18 – 12 = 6
Delen door 32 = 0,18 Rendement = (18%)
Waarom volgen investeerders Sharpe ratio’s?
Om de voor risico gecorrigeerde prestaties te meten.
Voorbeeld Rendement berekenen: (Opgave 5e)
Nu je de hoogste sharp ratio hebt, stel je vast welk risico je bereid bent te aanvaarden
De gebruikelijke maat voor spreiding is de standaarddeviatie of variantie. Het risico
van een aandeel kan in twee delen worden opgesplitst. Er is het specifieke of diversifieerbare risico
dat eigen is aan dat aandeel, en er is het marktrisico dat gepaard gaat met marktbrede variaties.
Welk risico kunnen beleggers niet uitsluiten?
Beleggers kunnen specifieke risico’s uitsluiten door een goed gediversifieerde portefeuille aan te
houden, maar ze kunnen het marktrisico niet uitsluiten.
BÈTA
Het risico van een goed gespreide portefeuille hangt af van zijn gevoeligheid voor
marktveranderingen. Bèta.
Beta van aandeel is: Covariantie van opbrengst aandeel vs opbrengst markt / Variantie van
opbrengst markt
Wat betekent een effect met een bèta van 1,0 ?
Dit effect heeft een gemiddeld marktrisico: een goed gediversifieerde portefeuille van dergelijke
effecten heeft dezelfde standaarddeviatie als de marktindex.
Aandelen met een Beta groter dan 1? reageren heftiger dan de markt.
Wat betekent een effect met een bèta van 0,5 ?
Deze heeft een beneden gemiddeld marktrisico. Een goed gediversifieerde portefeuille van deze
effecten beweegt zich meestal half zo ver als de markt beweegt en heeft de helft van de
standaarddeviatie van de markt.
Aandelen met een Beta tussen de 0 en 1 reageren minder heftig dan de markt.
Wat betekent bèta 0? Een bèta van 0 betekent niet dat er geen rendement gemaakt kan worden.
Bèta 0, betekent geen risico, dus geen risicopremie.
Een Beta onder de 0 betekent? dat de aandelen tegengesteld op de markt reageren.
De minst risicovolle belegging is de U.S. Treasury bill (schatkistpapier). Dit rendement staat vast en
wordt niet door de markt beïnvloed. Met andere woorden, T-Bills hebben een Bèta van 0. De
marktportefeuille heeft een bèta van 1.
8-1
Wat is de moderne portefeuilletheorie ( MPT) van Harry Markowitz?
De moderne portefeuilletheorie, ook bekend als de Modern Portfolio Theory (MPT), is een
economisch raamwerk waarmee beleggers minimale marktrisico’s proberen te nemen en
,maximaal rendement behalen voor een bepaalde beleggingsportefeuille door aandelen te kiezen
die niet gelijk aan elkaar bewegen.
In de theorie wordt benadrukt dat risico inherent is aan een hogere opbrengst, en dat het niet
voldoende is om naar het verwachte risico en rendement van één enkel aandeel te kijken. Door in
meerdere aandelen te beleggen kan een investeerder beter profiteren van de voordelen van
diversificatie. Diversificatie vermindert risico’s. Zo zou een combinatie van portefeuilles A en B
minder risico inhouden dan het gemiddelde van A en B. (efficiënte portofolio’s). Diversificatie is
de leidende gedachte achter de moderne portefeuille theorie.
Het risico van afzonderlijke aandelen is hoger dan het risico van aandelen in een gecombineerde
portefeuille, op voorwaarde dat de risico’s van die verschillende aandelen niet een direct verband
houden.
Verwacht rendement berekenen
Het verwachte rendement van een gecombineerde set aandelen, de portefeuille, wordt berekend
als een gewogen som van het rendement van de individuele aandelen. Stel een portefeuille
bestaat uit 5 aandelen met een verwacht rendement van 3, 6, 9, 12 en 15%, dan is de som voor
het berekenen van het gemiddelde verwachte rendement:
Verwachte rendement = (3% x 20%) + (6% x 20%) + (9% x 20%) + (12% x 20%) + (15% x 20%)
Rendementsrapportages uit het verleden komen redelijk overeen met een ‘normale verdeling’ (bij
korte interval).
Indien de rendementen van een aandeel normaal verdeeld worden zijn expected return en
standaarddeviatie de enige maatstaven waar een investeerder naar moet kijken
CORRELATIE
Nadat de verwachte waarde is vastgesteld is de tweede stap is om te focussen op het
fluctuatiebereik van het rendement omdat beleggersontwikkelingen kunnen afwijken van de
verwachtingen. Daarbij wordt gekeken naar de standaarddeviatie van de verwachte opbrengsten.
Dat helpt bij het bepalen van uitschieters in beide richtingen.
Er moet worden vastgesteld of er een onderlinge samenhang is tussen investeringen. Dat wordt
correlatie genoemd. Correlatie heeft een waarde van tussen de 1 en -1.
Indien een waarde schommeling van een aandeel niet altijd reageert op de waarde schommeling van
een ander aandeel is de correlatie zwak en dichterbij 0. Investeringen en onderlinge waarde
schommelingen kunnen ook een negatieve correlatie hebben. In dat geval leidt een waardestijging
van een aandeel tot een lagere waarde van een ander aandeel. Een voorbeeld van een negatieve
correlatie tussen aandelen is de relatie tussen nationale aandelenindexen, en de prijs van goud.
Wanneer een nationale aandelenindex stijgt, daalt de goudprijs meestal.
Het voordeel van diversificatie hangt af van de mate waarin de aandelen gecorreleerd zijn.
,Correlation: de mate waarin twee effecten tegelijkertijd dezelfde richting op bewegen.
Als aandelen precies in dezelfde pas zouden bewegen is er helemaal geen voordeel van diversificatie.
P=+1
Correlatiecoëfficiënt is een maat voor de sterkte van de lineaire samenhang tussen X en Y. De
waarde kan variëren van -1 tot 1. Een correlatiecoëfficiënt van +1 of -1 betekent dat er een lineair
verband is tussen de beide variabelen. Bij een verband in tegengestelde richting tussen 2 aandelen is
de waarde negatief tot maximaal -1. Als de aandelen op dezelfde manier reageren is de waarde
positief. Als ze exact hetzelfde zijn is de waarde +1. Een correlatiecoëfficiënt van 0 wil zeggen dat er
totaal geen lineaire samenhang is. Er kan echter wel een kwadratisch of ander verband zijn.
Wat betekent het als aandelen perfect negatief gecorreleerd aan elkaar zijn? P=- 1
Dan loopt de portefeuille geen risico. Maar is een onrealistisch beeld. Zie figuur 8.3 op blz. 195
Efficient portfolios: portfolios met het hoogste verwachte rendement met een minimum aan risico
(Markowitz)
In figuur 8.4 betekent elke plot een andere combinatie van risico en rendement. Welke combinatie is
het beste? Dat hangt af van je doel. Hoe hoger de lijn, hoe hoger het rendement. Naar links = minder
risico. De efficiënte portefeuilles zijn gesitueerd langs de lijn.
Als je een efficiente portfolio wil vinden moet je alle mogelijke portfolios van combinaties tussen
verschillende effecten laten plotten. Dan kan je vanaf het punt vanaf risicovrij lenen een streep
trekken zodat het je het portfolio net raakt. Dat is het meest efficiente portfolio.
Je kunt de niveaus van rendement en standaarddeviatie vergroten en verkleinen door te lenen of te
beleggen in obligaties. Je kunt deze dan gewogen tegen elkaar wegstrepen. Stel dat je de helft belegt
in obligaties dan gaat je standaarddeviatie ook met de helft omlaag. Verwachtte rendement is dan
rendement op aandelen plus rendement op obligaties delen door 2.
, BORROWING AND LENDING
Stel dat je geld kunt lenen en uitlenen tegen een risicovrije rentevoet. Als je een deel van je geld
belegt in schatkistcertificaten (geld lenen) en de rest in een gewone aandelenportefeuille S plaatst,
kun je elke combinatie van verwacht rendement en risico langs de rechte lijn krijgen, rf en S.
Omdat uitlenen een negatieve lening is, kun je de mogelijkheden uitbreiden aan de rechterkant van
S, (zie plaatje hierboven) door geld te lenen tegen een risicovrije rente ( rf) en dit samen met je geld
tegen een te betalen rente beleggen in S.
In figuur 8.5 hierboven zie je bij ‘lending’(onderkant van de streep) dat je halverwege rf en S eindigt.
Aan de bovenkant van de streep, ‘borrowing’ zie je dat de mogelijkheden bóven S uitkomen.
Ongeacht het risiconiveau je kiest, je krijgt het hoogst verwachte rendement door een mix van
portfolio S én borrowing of lending. Daar waar de streep de rode lijn raakt, is de efficiënte
portefeuille; beter dan alle anderen. Het is de hoogste verhouding tussen rendement en
standaarddeviatie. Deze verhouding wordt de Sharpe ratio genoemd.
Sharpe ratio berekenen: geeft aan hoe goed je portfolio rendeert ten aanzien van de
standaarddeviatie. Dit getal wil je dus natuurlijk zo hoog mogelijk hebben. Je berekent de sharpe
ratio door de risicovrije rente (rf) af te trekken van het verwachte rendement (r) van elke portefeuille
en delen door de standaarddeviatie.
riskpremium/standarddeviation. r-rf
σ
Stel je kunt lenen en uitlenen tegen 12% interest, risicovrij r=18 standaarddeviatie= 32
18 – 12 = 6
Delen door 32 = 0,18 Rendement = (18%)
Waarom volgen investeerders Sharpe ratio’s?
Om de voor risico gecorrigeerde prestaties te meten.
Voorbeeld Rendement berekenen: (Opgave 5e)
Nu je de hoogste sharp ratio hebt, stel je vast welk risico je bereid bent te aanvaarden
