Examen VWO
2019
tijdvak 1
maandag 20 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Achter dit examen is een erratum opgenomen.
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
, Mondriaan
Piet Mondriaan (1872-1944) was een Nederlandse kunstschilder die
algemeen wordt gezien als één van de grondleggers van de abstracte
kunst.
Vooral zijn latere werk, schilderijen bestaand uit zwarte lijnen en rode,
gele, blauwe en witte vlakken, is wereldberoemd.
Een kunstenaar wil een schilderij
maken dat lijkt op een schilderij van
Piet Mondriaan. Hij wil daarbij voor de
vlakken de drie kleuren rood, blauw en
wit gebruiken. De kunstenaar vindt het
niet erg als twee naast elkaar liggende
vlakken dezelfde kleur hebben.
Het aantal manieren waarop hij zijn schilderij in kan kleuren, het aantal
mogelijke kleuringen dus, hangt af van het aantal vlakken waaruit het
schilderij bestaat. Het verband tussen het aantal mogelijke kleuringen M
en het aantal vlakken V is: M 3V .
De kunstenaar wil minimaal vijf miljoen mogelijkheden hebben om het
schilderij in te kleuren.
3p 1 Bereken hoeveel vlakken het schilderij dan minstens moet hebben.
Een vriend van de kunstenaar beweert dat, als je in het algemeen het
aantal mogelijke kleuringen wilt verdubbelen, je gewoon het aantal
vlakken moet verdubbelen.
3p 2 Onderzoek of dat het geval is.
Uiteindelijk kiest de kunstenaar voor een schilderij met 17 vlakken, zoals
weergegeven in de figuur. De figuur staat ook, vergroot, op de
uitwerkbijlage.
figuur
De kunstenaar wil het schilderij van de 1 4 7 11 15
figuur inkleuren met de drie eerder
genoemde kleuren: rood, blauw en wit. 8
Daarnaast besluit hij, bij nader inzien, 12
toch dat twee aan elkaar grenzende 2 3 5 9
16
vlakken niet dezelfde kleur mogen 13
hebben.
14
10
6 17
VW-1026-a-19-1-o lees verder ►►►
, We kunnen de kleuring van de verschillende vlakken weergeven met de
volgende notatie: W5 betekent “vlak nummer 5 is wit gekleurd” en B12
betekent “vlak nummer 12 is blauw gekleurd”.
De kunstenaar begint met vlak nummer 1 rood te kleuren. Tegen zijn
vriend zegt hij “Vlak nummer 1 is rood, dus vlak nummer 4 is blauw of
wit”.
2p 3 Vertaal de uitspraak van de kunstenaar in logische symbolen, gebruik
makend van bovenstaande notatie.
De kunstenaar kiest ervoor om vlak nummer 4 wit te kleuren. Het gevolg
daarvan voor een deel van de rest van het schilderij kan worden
weergegeven met de volgende logische redenering, bestaande uit vier
redeneerstappen:
( R1 W4 ) B3
B3 (B5 B2 )
( R1 B2 ) W2
(W2 B3 ) R6
4p 4 Geef de vier stappen van deze redenering in gewone zinnen.
Voor de rest van de opgave gaan we ervan uit dat kunstenaar blijft bij
bovenstaande keuze.
3p 5 Geef een redenering, weergegeven met de hierboven beschreven notatie
en logische symbolen, bestaande uit een aantal redeneerstappen, voor
vlak nummer 5 en leg daarmee uit waarom de kunstenaar er niet in zal
slagen vlak nummer 5 een kleur te geven.
De kunstenaar heeft dus een vierde kleur nodig en kiest ervoor om vlak
nummer 5 geel te kleuren. Het is mogelijk om de rest van het kunstwerk in
te kleuren zonder een tweede keer de kleur geel in te hoeven zetten. De
figuur staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage.
4p 6 Geef op de uitwerkbijlage aan hoe het kunstwerk ingekleurd moet worden,
uitgaande van het bovenstaande.
VW-1026-a-19-1-o lees verder ►►►
, Groningse aardbevingen
In de provincie Groningen vinden, als gevolg van gasproductie, regelmatig
aardbevingen plaats. In 2013 is daar grootschalig onderzoek naar
gedaan. Zo werd er gekeken naar het verband tussen de gasproductie en
aardbevingen. Enkele resultaten daarvan staan in figuur 1. Deze figuur
staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage. Hier zie je bijvoorbeeld dat er in
1993 zeven aardbevingen zijn geweest en er in datzelfde jaar 42 miljard
kubieke meter gas is geproduceerd.
figuur 1
60 60 gasproductie
jaarlijks aantal
aardbevingen in miljarden m3
50 50 per jaar
40 40
30 30
20 20
10 10
0 0
’89 ’91 ’93 ’95 ’97 ’99 ’01 ’03 ’05 ’07 ’09 ’11
jaar
Legenda:
jaarlijks aantal aardbevingen
jaarlijkse gasproductie
We bekijken de volgende drie beweringen:
1 De gasproductie en het aantal aardbevingen zijn over de gehele
periode 2000-2011 procentueel evenveel gestegen.
2 Als na 2000 de gasproductie daalt, dan heeft dat altijd een jaar later
ook een daling van het aantal aardbevingen tot gevolg.
3 In de periode 2005-2011 is de gemiddelde stijging per jaar van het
aantal aardbevingen groter dan in de periode 1998-2004.
5p 7 Geef van elke bewering aan of deze waar is of niet. Gebruik in je
toelichting gegevens uit figuur 1 en gebruik daarbij eventueel de figuur op
de uitwerkbijlage.
De magnitude, de kracht van een aardbeving, wordt uitgedrukt in een
getal op de schaal van Richter.
In figuur 2 zijn de Groningse aardbevingen vanaf 1994 verzameld en
ingedeeld naar sterkte. Dat geeft bij een logaritmische schaalverdeling
langs de verticale as een opvallend patroon: alle grafieken zijn bij
benadering evenwijdige rechte lijnen.
VW-1026-a-19-1-o lees verder ►►►
2019
tijdvak 1
maandag 20 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Achter dit examen is een erratum opgenomen.
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
, Mondriaan
Piet Mondriaan (1872-1944) was een Nederlandse kunstschilder die
algemeen wordt gezien als één van de grondleggers van de abstracte
kunst.
Vooral zijn latere werk, schilderijen bestaand uit zwarte lijnen en rode,
gele, blauwe en witte vlakken, is wereldberoemd.
Een kunstenaar wil een schilderij
maken dat lijkt op een schilderij van
Piet Mondriaan. Hij wil daarbij voor de
vlakken de drie kleuren rood, blauw en
wit gebruiken. De kunstenaar vindt het
niet erg als twee naast elkaar liggende
vlakken dezelfde kleur hebben.
Het aantal manieren waarop hij zijn schilderij in kan kleuren, het aantal
mogelijke kleuringen dus, hangt af van het aantal vlakken waaruit het
schilderij bestaat. Het verband tussen het aantal mogelijke kleuringen M
en het aantal vlakken V is: M 3V .
De kunstenaar wil minimaal vijf miljoen mogelijkheden hebben om het
schilderij in te kleuren.
3p 1 Bereken hoeveel vlakken het schilderij dan minstens moet hebben.
Een vriend van de kunstenaar beweert dat, als je in het algemeen het
aantal mogelijke kleuringen wilt verdubbelen, je gewoon het aantal
vlakken moet verdubbelen.
3p 2 Onderzoek of dat het geval is.
Uiteindelijk kiest de kunstenaar voor een schilderij met 17 vlakken, zoals
weergegeven in de figuur. De figuur staat ook, vergroot, op de
uitwerkbijlage.
figuur
De kunstenaar wil het schilderij van de 1 4 7 11 15
figuur inkleuren met de drie eerder
genoemde kleuren: rood, blauw en wit. 8
Daarnaast besluit hij, bij nader inzien, 12
toch dat twee aan elkaar grenzende 2 3 5 9
16
vlakken niet dezelfde kleur mogen 13
hebben.
14
10
6 17
VW-1026-a-19-1-o lees verder ►►►
, We kunnen de kleuring van de verschillende vlakken weergeven met de
volgende notatie: W5 betekent “vlak nummer 5 is wit gekleurd” en B12
betekent “vlak nummer 12 is blauw gekleurd”.
De kunstenaar begint met vlak nummer 1 rood te kleuren. Tegen zijn
vriend zegt hij “Vlak nummer 1 is rood, dus vlak nummer 4 is blauw of
wit”.
2p 3 Vertaal de uitspraak van de kunstenaar in logische symbolen, gebruik
makend van bovenstaande notatie.
De kunstenaar kiest ervoor om vlak nummer 4 wit te kleuren. Het gevolg
daarvan voor een deel van de rest van het schilderij kan worden
weergegeven met de volgende logische redenering, bestaande uit vier
redeneerstappen:
( R1 W4 ) B3
B3 (B5 B2 )
( R1 B2 ) W2
(W2 B3 ) R6
4p 4 Geef de vier stappen van deze redenering in gewone zinnen.
Voor de rest van de opgave gaan we ervan uit dat kunstenaar blijft bij
bovenstaande keuze.
3p 5 Geef een redenering, weergegeven met de hierboven beschreven notatie
en logische symbolen, bestaande uit een aantal redeneerstappen, voor
vlak nummer 5 en leg daarmee uit waarom de kunstenaar er niet in zal
slagen vlak nummer 5 een kleur te geven.
De kunstenaar heeft dus een vierde kleur nodig en kiest ervoor om vlak
nummer 5 geel te kleuren. Het is mogelijk om de rest van het kunstwerk in
te kleuren zonder een tweede keer de kleur geel in te hoeven zetten. De
figuur staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage.
4p 6 Geef op de uitwerkbijlage aan hoe het kunstwerk ingekleurd moet worden,
uitgaande van het bovenstaande.
VW-1026-a-19-1-o lees verder ►►►
, Groningse aardbevingen
In de provincie Groningen vinden, als gevolg van gasproductie, regelmatig
aardbevingen plaats. In 2013 is daar grootschalig onderzoek naar
gedaan. Zo werd er gekeken naar het verband tussen de gasproductie en
aardbevingen. Enkele resultaten daarvan staan in figuur 1. Deze figuur
staat ook, vergroot, op de uitwerkbijlage. Hier zie je bijvoorbeeld dat er in
1993 zeven aardbevingen zijn geweest en er in datzelfde jaar 42 miljard
kubieke meter gas is geproduceerd.
figuur 1
60 60 gasproductie
jaarlijks aantal
aardbevingen in miljarden m3
50 50 per jaar
40 40
30 30
20 20
10 10
0 0
’89 ’91 ’93 ’95 ’97 ’99 ’01 ’03 ’05 ’07 ’09 ’11
jaar
Legenda:
jaarlijks aantal aardbevingen
jaarlijkse gasproductie
We bekijken de volgende drie beweringen:
1 De gasproductie en het aantal aardbevingen zijn over de gehele
periode 2000-2011 procentueel evenveel gestegen.
2 Als na 2000 de gasproductie daalt, dan heeft dat altijd een jaar later
ook een daling van het aantal aardbevingen tot gevolg.
3 In de periode 2005-2011 is de gemiddelde stijging per jaar van het
aantal aardbevingen groter dan in de periode 1998-2004.
5p 7 Geef van elke bewering aan of deze waar is of niet. Gebruik in je
toelichting gegevens uit figuur 1 en gebruik daarbij eventueel de figuur op
de uitwerkbijlage.
De magnitude, de kracht van een aardbeving, wordt uitgedrukt in een
getal op de schaal van Richter.
In figuur 2 zijn de Groningse aardbevingen vanaf 1994 verzameld en
ingedeeld naar sterkte. Dat geeft bij een logaritmische schaalverdeling
langs de verticale as een opvallend patroon: alle grafieken zijn bij
benadering evenwijdige rechte lijnen.
VW-1026-a-19-1-o lees verder ►►►
