Fundamenten uitwerkingen inleveropgave week 3
1 oktober 2021
√
Gegeven: reëel getal 3 + 1.
√ √
Te bewijzen: 3 + 1 is niet rationaal ( 3 + 1 ∈ / Q) via een bewijs uit het ongerijmde.
√
Bewijs. Neem √ voor een tegenstelling aan dat 3 + 1 ∈ Q.
Dan geldt dat 3 + 1 = ab voor gehele getallen a en b met b 6= 0.
√
Hieruit volgt dat 3 = ab − 1 = ab − bb = (a−b) b . Omdat (a − b) en b gehele getallen zijn met
√ (a−b)
b 6= 0, kunnen we concluderen dat 3 = b ∈ Q.
√ √
Merk op dat 3 6= 0 en dat √ 3 rationaal is, hierdoor kunnen we zonder verlies van alge-
meenheid concluderen dat 3 = dc met c en d gehele getallen ongelijk aan 0 waarbij de enige
gemeenschappelijke delers van c en d de getallen 1 en −1 zijn (overige delers kunnen namelijk
worden weggedeeld). √ √
Verder impliceert 3 = dc dat 3 · d = c en kwadrateren geeft dat 3d2 = c2 .
Aangezien d2 een geheel getal is geldt 3 | 3d2 en aangezien 3d2 = c2 geldt 3 | c2 . Aangezien 3
een priemgetal is geldt dat de enige positieve delers van 3 de getallen 1 en 3 zijn.
Hierdoor weten we dat als 3 geen deler is van c dan is deze ook geen deler van c · c = c2 ,
dit is echter niet het geval en daarom geldt 3 | c. We kunnen dus schrijven c = 3k voor een
geheel getal k. Hiermee volgt uit 3d2 = c2 dat 3d2 = (3k)2 = 9k 2 wat impliceert dat d2 = 3k 2 .
Omdat k 2 een geheel getal is weten we dat 3 | d2 en zoals eerder uitgelegd volgt hieruit dat
3 | d. Hiermee hebben c en d de gemeenschappelijke deler 3.
Dit geeft echter een tegenspraak met het feit dat de enige gemeenschappelijke delers van c en
d de getallen 1 en −1 zijn. √
Hieruit kunnen we concluderen dat de aanname 3 + 1 ∈ Q incorrect moet zijn en dus dat
√
3+1∈ / Q.
1
1 oktober 2021
√
Gegeven: reëel getal 3 + 1.
√ √
Te bewijzen: 3 + 1 is niet rationaal ( 3 + 1 ∈ / Q) via een bewijs uit het ongerijmde.
√
Bewijs. Neem √ voor een tegenstelling aan dat 3 + 1 ∈ Q.
Dan geldt dat 3 + 1 = ab voor gehele getallen a en b met b 6= 0.
√
Hieruit volgt dat 3 = ab − 1 = ab − bb = (a−b) b . Omdat (a − b) en b gehele getallen zijn met
√ (a−b)
b 6= 0, kunnen we concluderen dat 3 = b ∈ Q.
√ √
Merk op dat 3 6= 0 en dat √ 3 rationaal is, hierdoor kunnen we zonder verlies van alge-
meenheid concluderen dat 3 = dc met c en d gehele getallen ongelijk aan 0 waarbij de enige
gemeenschappelijke delers van c en d de getallen 1 en −1 zijn (overige delers kunnen namelijk
worden weggedeeld). √ √
Verder impliceert 3 = dc dat 3 · d = c en kwadrateren geeft dat 3d2 = c2 .
Aangezien d2 een geheel getal is geldt 3 | 3d2 en aangezien 3d2 = c2 geldt 3 | c2 . Aangezien 3
een priemgetal is geldt dat de enige positieve delers van 3 de getallen 1 en 3 zijn.
Hierdoor weten we dat als 3 geen deler is van c dan is deze ook geen deler van c · c = c2 ,
dit is echter niet het geval en daarom geldt 3 | c. We kunnen dus schrijven c = 3k voor een
geheel getal k. Hiermee volgt uit 3d2 = c2 dat 3d2 = (3k)2 = 9k 2 wat impliceert dat d2 = 3k 2 .
Omdat k 2 een geheel getal is weten we dat 3 | d2 en zoals eerder uitgelegd volgt hieruit dat
3 | d. Hiermee hebben c en d de gemeenschappelijke deler 3.
Dit geeft echter een tegenspraak met het feit dat de enige gemeenschappelijke delers van c en
d de getallen 1 en −1 zijn. √
Hieruit kunnen we concluderen dat de aanname 3 + 1 ∈ Q incorrect moet zijn en dus dat
√
3+1∈ / Q.
1
