H6.3
n
• In voorbeeld 6.3.5 (op blz 204) staat dat er 22 mogelijkheden zijn. Dit kun je zien door
gebruik te maken van de stelling: als A en B eindige verzamelingen zijn, dan is het aantal ver-
schillende afbeeldingen van A naar B gelijk aan |B||A| . In het voorbeeld is B = {0, 1} en
A = {(x1 , x2 , . . . , xn )|xi ∈ {0, 1} en i ∈ N met 1 ≤ i ≤ n}. De stelling volgt uit de opmerking
dat je voor elk element van A precies |B| verschillende keuzes hebt om een element naar toe te
sturen.
• Er was een suggestie om opgave 6.3.4 met een substitutie te doen (n vervangen door n + 1).
Dat werkte niet. Echter aan het eind staat drie vraagtekens bij een pijl op het bord en is er al een
kleine verbetering gemaakt. Nu kun je het argument wel zo krijgen zodat het een bewijs gaat
opleveren. Het komt net als de andere twee bewijzen die gegeven worden op hetzelfde neer.
H6.5
• We zijn niet toegekomen aan opgave 6.5.10. Het idee is om een afbeelding te maken van
A × C → B × D. Je weet dat er bijecties zijn f : A → B en g : C → D. Hiermee maak je de
afbeelding h : A × C → B × D door (a, c) 7→ (f (a), g(c)). Bewijs nu dat g een bijectie is door
te bewijzen zien dat g zowel injectief is als surjectief.
• We zijn niet toegekomen aan opgave 6.5.7 (deze is lastiger dan opgave 6.5.10). Ook hier wil
je een afbeelding maken, in dit geval van P(A) naar P(B). Probeer een afbeelding te vinden
(wellicht door het eerst voor een voorbeeld te doen, zeg A = {1, 2} en B = {v, w} waarbij je al
een bijectie hebt gemaakt tussen A en B, en eventueel A = {1, 2, 3} en B = {v, w, x}). Op het
bord wordt een afbeelding gegeven. Bewijs nu dat je afbeelding een bijectie is door te bewijzen
zien dat je afbeelding zowel injectief is als surjectief.
• We hebben geschetst hoe je kunt laten zien dat Q aftelbaar is. Het argument met het plaatje
staat netjes getekend in figuur 6.7.1 op blz 241 (H6.7). De stelling wordt ook bewezen (Stelling
6.7.1 op blz 240). Op het bord hebben we (na een aantal verbeteringen) een injectieve functie
gemaakt van Q naar N. Het kwam neer op de volgende functie f : Q → N door x 7→ 2a · 3b · 5i
waarbij a, b ∈ Z met a ≥ 0, b > 0 en ggd(a, b) = 1 zo zijn dat |x| = ab en waarbij i gelijk is aan
4 4
0 als x ≥ 0 en i is gelijk aan 1 als x < 0. Bijvoorbeeld f (− 12 ) = 21 · 33 · 51 (want | − 12 | = 13
dus a = 1 en b = 3, en verder is i = 1 vanwege x < 0).
• We hebben geschetst hoe je kunt zien dat R overaftelbaar is. Het bewijs staat na stelling 6.7.3
(blz 242) en in figuur 6.72 zie je het diagonaalargument.
• Aan het eind noemde ik een populair artikel dat aansluit op de zogenaamde continuümhypothese
(bestaat er een verzameling V zodat V meer elementen dan N bevat maar minder elementen dan
R). Hier de link naar het artikel: https://www.quantamagazine.org/how-many-numbers-exist-
infinity-proof-moves-math-closer-to-an-answer-20210715/
1
n
• In voorbeeld 6.3.5 (op blz 204) staat dat er 22 mogelijkheden zijn. Dit kun je zien door
gebruik te maken van de stelling: als A en B eindige verzamelingen zijn, dan is het aantal ver-
schillende afbeeldingen van A naar B gelijk aan |B||A| . In het voorbeeld is B = {0, 1} en
A = {(x1 , x2 , . . . , xn )|xi ∈ {0, 1} en i ∈ N met 1 ≤ i ≤ n}. De stelling volgt uit de opmerking
dat je voor elk element van A precies |B| verschillende keuzes hebt om een element naar toe te
sturen.
• Er was een suggestie om opgave 6.3.4 met een substitutie te doen (n vervangen door n + 1).
Dat werkte niet. Echter aan het eind staat drie vraagtekens bij een pijl op het bord en is er al een
kleine verbetering gemaakt. Nu kun je het argument wel zo krijgen zodat het een bewijs gaat
opleveren. Het komt net als de andere twee bewijzen die gegeven worden op hetzelfde neer.
H6.5
• We zijn niet toegekomen aan opgave 6.5.10. Het idee is om een afbeelding te maken van
A × C → B × D. Je weet dat er bijecties zijn f : A → B en g : C → D. Hiermee maak je de
afbeelding h : A × C → B × D door (a, c) 7→ (f (a), g(c)). Bewijs nu dat g een bijectie is door
te bewijzen zien dat g zowel injectief is als surjectief.
• We zijn niet toegekomen aan opgave 6.5.7 (deze is lastiger dan opgave 6.5.10). Ook hier wil
je een afbeelding maken, in dit geval van P(A) naar P(B). Probeer een afbeelding te vinden
(wellicht door het eerst voor een voorbeeld te doen, zeg A = {1, 2} en B = {v, w} waarbij je al
een bijectie hebt gemaakt tussen A en B, en eventueel A = {1, 2, 3} en B = {v, w, x}). Op het
bord wordt een afbeelding gegeven. Bewijs nu dat je afbeelding een bijectie is door te bewijzen
zien dat je afbeelding zowel injectief is als surjectief.
• We hebben geschetst hoe je kunt laten zien dat Q aftelbaar is. Het argument met het plaatje
staat netjes getekend in figuur 6.7.1 op blz 241 (H6.7). De stelling wordt ook bewezen (Stelling
6.7.1 op blz 240). Op het bord hebben we (na een aantal verbeteringen) een injectieve functie
gemaakt van Q naar N. Het kwam neer op de volgende functie f : Q → N door x 7→ 2a · 3b · 5i
waarbij a, b ∈ Z met a ≥ 0, b > 0 en ggd(a, b) = 1 zo zijn dat |x| = ab en waarbij i gelijk is aan
4 4
0 als x ≥ 0 en i is gelijk aan 1 als x < 0. Bijvoorbeeld f (− 12 ) = 21 · 33 · 51 (want | − 12 | = 13
dus a = 1 en b = 3, en verder is i = 1 vanwege x < 0).
• We hebben geschetst hoe je kunt zien dat R overaftelbaar is. Het bewijs staat na stelling 6.7.3
(blz 242) en in figuur 6.72 zie je het diagonaalargument.
• Aan het eind noemde ik een populair artikel dat aansluit op de zogenaamde continuümhypothese
(bestaat er een verzameling V zodat V meer elementen dan N bevat maar minder elementen dan
R). Hier de link naar het artikel: https://www.quantamagazine.org/how-many-numbers-exist-
infinity-proof-moves-math-closer-to-an-answer-20210715/
1
