Capítulo 1.
Espacio Vectorial.
Definición. Un espacio vectorial V sobre un campo * F, es un
conjunto en el que están definidas dos operaciones (suma y la
multiplicación por escalares), tales que:
1. ∀x, y ∈ V, ∃! x + y ∈ V.
2. ∀x ∈ V, ∀a ∈ F, ∃! ax ∈ V.
De manera que se cumplan las siguientes propiedades:
(EV1) ∀x, y ∈ V, x + y = y + x. (Conmutatividad de la adición)
(EV2) ∀x, y, z ∈ V, (x + y) + z = x + (y + x). (Asociatividad de la adición)
(EV3) ∃ 0 ∈ V, x + 0 = x, ∀x ∈ V.
(EV4) ∀x ∈ V, ∃ y ∈ V, x + y = 0.
(EV5) ∀x ∈ V, 1x = x.
(EV6) ∀a, b ∈ F, ∀x ∈ V , (ab)x = a(bx).
(EV7) ∀a ∈ F, ∀x, y ∈ V, a(x + y) = ax + by.
(EV8) ∀a, b ∈ F, ∀x ∈ V, (a + b)x = ax + bx.
Donde los elementos de V se llaman vectores y los elementos del
campo F se llaman escalares.
Propiedad Se lee:
(EV1) ∀x, y ∈ V, x + y = y + x. Para toda x, y que pertenece a V,
tal que x + y = y + x
Consecuencias de la definición de espacio vectorial.
Teorema 1.1.(Ley de la cancelación de la suma vectorial).
Si x, y ∈ V tal que x + z = y + z entonces x = y.
Colorario 1. El vector 0 descrito en (EV3) es único.
Colorario 2. El vector y descrito en (EV4) es único.
, Propiedades elementales de la multiplicación por
escalar.
Teorema 1.2. En cualquier espacio vectorial, las siguientes
proposiciones son verdaderas:
a) 0x = 0, ∀x ∈ V
b) (-a)x = (-ax) = x(-a), ∀x ∈ V ∧ ∀a ∈ F
c) a0 = 0 ∀a ∈
Capítulo 2.
Subespacios Vectoriales.
Subespacio Vectorial.
Definición. Un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre un
campo F, se llama subconjunto de V si W es un espacio vectorial
sobre F, bajo las operaciones de la suma y la multiplicación por
escalares definidas en V.
Teorema 1.3. Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto de V.
Entonces W es un subespacio de V sii las tres condiciones
siguientes:
a) 0 ∈ W. (El vector 0 esta dentro de W).
b)x + y ∈ W siempre que x ∈ W ∧ y ∈ W. (Cerradura de la adición).
c)ax ∈ W siempre que a ∈ F ∧ a ∈ W. (Cerradura de la mulrpliación por escalar).
Nota. El inciso c) tiene explícitamente la propiedad: El inverso
de cada elemento de W está en W.
Teorema 1.4. Cualquier intersección de subespacios de un espacio
vectorial V es un subespacio de V.
Suma de dos subespacios.
Definición. Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vacíos de un espacio
Espacio Vectorial.
Definición. Un espacio vectorial V sobre un campo * F, es un
conjunto en el que están definidas dos operaciones (suma y la
multiplicación por escalares), tales que:
1. ∀x, y ∈ V, ∃! x + y ∈ V.
2. ∀x ∈ V, ∀a ∈ F, ∃! ax ∈ V.
De manera que se cumplan las siguientes propiedades:
(EV1) ∀x, y ∈ V, x + y = y + x. (Conmutatividad de la adición)
(EV2) ∀x, y, z ∈ V, (x + y) + z = x + (y + x). (Asociatividad de la adición)
(EV3) ∃ 0 ∈ V, x + 0 = x, ∀x ∈ V.
(EV4) ∀x ∈ V, ∃ y ∈ V, x + y = 0.
(EV5) ∀x ∈ V, 1x = x.
(EV6) ∀a, b ∈ F, ∀x ∈ V , (ab)x = a(bx).
(EV7) ∀a ∈ F, ∀x, y ∈ V, a(x + y) = ax + by.
(EV8) ∀a, b ∈ F, ∀x ∈ V, (a + b)x = ax + bx.
Donde los elementos de V se llaman vectores y los elementos del
campo F se llaman escalares.
Propiedad Se lee:
(EV1) ∀x, y ∈ V, x + y = y + x. Para toda x, y que pertenece a V,
tal que x + y = y + x
Consecuencias de la definición de espacio vectorial.
Teorema 1.1.(Ley de la cancelación de la suma vectorial).
Si x, y ∈ V tal que x + z = y + z entonces x = y.
Colorario 1. El vector 0 descrito en (EV3) es único.
Colorario 2. El vector y descrito en (EV4) es único.
, Propiedades elementales de la multiplicación por
escalar.
Teorema 1.2. En cualquier espacio vectorial, las siguientes
proposiciones son verdaderas:
a) 0x = 0, ∀x ∈ V
b) (-a)x = (-ax) = x(-a), ∀x ∈ V ∧ ∀a ∈ F
c) a0 = 0 ∀a ∈
Capítulo 2.
Subespacios Vectoriales.
Subespacio Vectorial.
Definición. Un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre un
campo F, se llama subconjunto de V si W es un espacio vectorial
sobre F, bajo las operaciones de la suma y la multiplicación por
escalares definidas en V.
Teorema 1.3. Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto de V.
Entonces W es un subespacio de V sii las tres condiciones
siguientes:
a) 0 ∈ W. (El vector 0 esta dentro de W).
b)x + y ∈ W siempre que x ∈ W ∧ y ∈ W. (Cerradura de la adición).
c)ax ∈ W siempre que a ∈ F ∧ a ∈ W. (Cerradura de la mulrpliación por escalar).
Nota. El inciso c) tiene explícitamente la propiedad: El inverso
de cada elemento de W está en W.
Teorema 1.4. Cualquier intersección de subespacios de un espacio
vectorial V es un subespacio de V.
Suma de dos subespacios.
Definición. Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vacíos de un espacio
