Resolución de calculo 1 universidades de Argentina

Examen Calculo 1



1. Hallar todos los 𝒙 ∈ 𝑹 tal que |𝟐𝒙 − 𝟏| − |𝒙 + 𝟓| = 𝟑
Solución:

Encontramos intervalos para |2𝑥 − 1|

2𝑥 − 1 ≥ 0
2𝑥 ≥ 1
1
𝑥≥
2
Reescribimos |2𝑥 − 1| para 2𝑥 − 1 ≥ 0
𝑠𝑖 𝑢 ≥ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝑢| = 𝑢
|2𝑥 − 1| = 2𝑥 − 1



Encontramos intervalos para |2𝑥 − 1|

2𝑥 − 1 < 0
2𝑥 < 1
1
𝑥<
2
Reescribimos |2𝑥 − 1|para 2𝑥 − 1 < 0

𝑠𝑖 𝑢 < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝑢| = −𝑢
|2𝑥 − 1| = −(2𝑥 − 1)



Encontramos intervalos para |𝑥 + 5|

𝑥+5≥0
𝑥 ≥ −5
Reescribimos |𝑥 + 5| para 𝑥 + 5 ≥ 0
𝑠𝑖 𝑢 ≥ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝑢| = 𝑢
|𝑥 + 5| = 𝑥 + 5

, Encontramos intervalos para |𝑥 + 5|

𝑥+5<0
𝑥 < −5
Reescribimos |𝑥 + 5|para 𝑥 + 5 < 0

𝑠𝑖 𝑢 < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝑢| = −𝑢
|𝑥 + 5| = −(𝑥 + 5)

Identificamos los intervalos
1 1
𝑥 < −5 ; −5 ≤ 𝑥 < ; 𝑥≥
2 2
𝑥 < −5 1 1
−5 ≤ 𝑥 < 𝑥≥
2 2
|2𝑥 − 1| − − +
|𝑥 + 5| − + +


Resolver la desigualdad en cada intervalo

Para 𝑥 < −5 reescribimos:

−(2𝑥 − 1) − (−(𝑥 + 5)) = 3

−(2𝑥 − 1) + 𝑥 + 5 = 3
−(2𝑥 − 1) + 𝑥 = −2
−𝑥 + 1 = −2
−𝑥 = −3
𝑥=3
Como 𝑥 = 3 no esta en 𝑥 < −5, no existe solución.


1
Para −5 ≤ 𝑥 < 2 reescribimos:

−(2𝑥 − 1) − (𝑥 + 5) = 3
−2𝑥 + 1 − 𝑥 − 5 = 3
−3𝑥 − 4 = 3
−3𝑥 = 7
7
𝑥=−
3
3 1
Como 𝑥 = − 7 está en −5 ≤ 𝑥 < 2, es la solución.