Sumario Asintota oblicua y limites trigonometricos de Calculo de una Variable ejercicios resueltos

ASINTOTA OBLICUA.

1. Asíntota oblicua izquierda (AOI). Dada la recta 𝐿: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 .
Para determinar la ecuación de esta asíntota, debemos resolver:
ƒ(𝑥)
 𝑚 = lim𝑥→−∞
�
 𝑏 = lim𝑥→−∞[ƒ(𝑥) − 𝑚𝑥]

2.- Asíntota oblicua derecha (AOD) Dada la recta 𝐿: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏.

Para determinar la ecuación de esta asíntota, debemos resolver:
ƒ(𝑥)
 𝑚 = lim𝑥→+∞
�
 𝑏 = lim𝑥→+∞[ƒ(𝑥) − 𝑚𝑥]

Observación.

a) Si ƒ es una función racional, entonces AOI y AOD tienen las mismas
ecuaciones.
b) Sea ƒ es una función racional, se cumple:
 Si existe AH, entonces No existe AO
 Si existe AO, entonces No existe AH.
c) Sea ƒ(𝑥) = 𝑝(𝑥) , donde 𝑝 𝑦 𝑞 son polinomios.
𝑞(𝑥)
Existe AO si y solamente si, 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑝) = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑞) + 1

, Ejemplo.
2
6𝑥 −3𝑥+1
1.- Determine la ecuación de la asíntota oblicua de ƒ(𝑥) =
2𝑥
Resolución.
La recta buscada es de la forma 𝐿: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏.

Paso1.
 𝑚 = lim
ƒ(𝑥) 6𝑥2−3𝑥+1 6𝑥2
𝑥→+∞ 𝑥 = lim 𝑥→+ = lim 𝑥→+∞ =3
∞ 𝑥(2𝑥+7) 2𝑥2

 𝑏 = lim𝑥→+∞ [ ( ) 2
ƒ 𝑥 − 𝑚𝑥] = lim𝑥→+∞ *6𝑥 −3𝑥+1 − 3𝑥+ =
2𝑥+7

= lim 6𝑥2 − 3𝑥 + 1 − 6𝑥2 − 21𝑥 [
𝑥→+∞ * + = = lim 1 − 24𝑥 ] = −12
2𝑥 + 7 𝑥→+ 2𝑥 + 7
∞




Luego: AOD: 𝑦 = 3𝑥 − 12


2.- Determine la AOD de ƒ(𝑥) = √𝑥2 + 4𝑥 + 1 − 3𝑥
Resolución.
La recta pedida es 𝐿: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Paso 1.-
 𝑚 = lim
ƒ(𝑥) √𝑥2+4𝑥+1−3𝑥 *√1 + 4 + 1
− 3+
𝑥→+∞ = lim 𝑥→+∞ = lim𝑥→+∞
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥2




=1 − 3 = −2
Asi, 𝑚 = −2