Sumario Continuidad de una Funcion Real de Variable Real Calculo ejercicios resueltos

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.
y 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚(ƒ).
Sea ƒuna función con dominio 𝐷𝑜𝑚(ƒ) G Ø
Decimos que la función ƒ es continua en el punto 𝑎, si se cumple lo siguiente:

a) Existe ƒ(𝑎), es decir 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚(ƒ).
b) Existe lim𝑥→𝑎 ƒ(𝑥)
c) lim𝑥→𝑎 ƒ(𝑥) = ƒ(𝑎)

Si una de las condiciones no se cumple, se dice que ƒ no es continua en 𝑎.

Nota:

𝑓1(𝗑) ,𝗑 < 𝑎
1) 𝑓(𝗑) = { 𝑘 𝗑=𝑎
𝑓2(𝗑) ,𝗑> 𝑎
En este caso se analizan los dos límites laterales para analizar la existencia de límite y
por ende la continuidad en el punto 𝑎

𝑓1(𝗑) , 𝗑 < 𝑎
2) 𝑓(𝗑) = { 𝑘 ,𝗑 =𝑎
En este caso ƒ es continua en 𝑎 si se cumple lim𝗑→𝑎− 𝑓(𝗑) = 𝑘 = 𝑓(𝑎)

3) Toda función es continua en un punto aislado




Ejemplo 1
Analice la continuidad de la función en 𝗑 = 1 si:

3𝗑2 − 2𝗑 − 1 , 𝗑≤1
𝑓(𝗑) = { 2𝗑 − 1 , 𝗑>1

Resolución:

 𝑓(1) = 0
 Existe límite en x=1?
 lim𝗑→1− 𝑓(𝗑) = lim𝗑→1−(3𝗑2 − 2𝗑 − 1) = 0
 lim𝗑→1+ 𝑓(𝗑) = lim𝗑→1+(2𝗑 − 1) = 1
No existe límite.
Por lo tanto 𝑓 no es continua en 𝗑 = 1.

, Forma gráfica:


3𝗑2 − 2𝗑 − 1 , 𝗑≤1
𝑓(𝗑) = { 2𝗑 − 1 , 𝗑>1




Ejemplo 2

Determine si 𝑓 es continua en 𝗑 = 4

𝗑2 − 16
𝑓(𝗑) = { , 𝗑<4
𝗑8 − 4 ,𝗑=4

Resolución.
 𝑓(4) = 8



 Existe límite. En este caso solamente bata analizar el limite lateral izquierda.
𝗑2 − 16 (𝗑 − 4)(𝗑 + 4)
lim
𝗑 𝑓( ) = lim− = lim−
𝗑→4− 𝗑→4 𝗑−4 𝗑→4 =8
𝗑−4
 lim𝗑→4− 𝑓(𝗑) = 𝑓(4)



Por lo tanto 𝑓 es continua en 𝗑 = 4.