Sumario Limite exponencial y logaritmica de Calculo de una Variable

Limite exponencial y logarítmica: Forma indeterminada 1∞


I) Propiedad: Si lim𝑥→𝑎 ƒ(𝑥)g(𝑥) = 1∞, entonces
lim g(𝑥)(f(𝑥)−1)
lim ƒ(𝑥) g(𝑥) = 𝑒 𝑥→𝑎
𝑥→𝑎



Ejemplos.
1

1.- Calcule lim𝑥→0(1 + 2𝑥)𝑥
Resolución.
1
∞
Paso 1. Reemplazamos el punto límite, lim𝑥→0(1 + 2𝑥)𝑥 = 1
Paso2. Aplicamos la propiedad I)
1
1 1
lim𝑥→0(1 + 2𝑥) = 𝑒 𝑥 (1+2𝑥−1)
lim𝑥→0 �
= 𝑒 lim𝑥→0 �(2𝑥) = 𝑒2


1
2𝑥+1 𝑥−1
2.- Calcule lim𝑥→1 ( )
𝑥+2

Resolución.
1
2𝑥+1 𝑥−1
Paso 1. Reemplazando el punto límite, lim𝑥→1 ( ) = 1∞
𝑥+2

Paso 2. Utilizando la propiedad I)
1

lim (2𝑥 + 1 𝑥−1 lim 1 ( 2𝑥+1−1) 1 2𝑥+1−𝑥−2 1 𝑥−1
𝑥→1 ) = 𝑒 𝑥→1𝑥−1 𝑥+2 𝑥→1𝑥−1 (
lim 𝑥+2 ) 𝑥→1 𝑥−1( 𝑥+2)
lim
𝑥+2 =𝑒 =𝑒 =
1 1
lim 3

𝑒 𝑥→1 𝑥+2 = 𝑒 3 = √𝑒

, 𝑥
3.- Calcule lim𝑥→0(𝑒 2
+ 𝑥)𝑥.


Resolución.
2 𝑒𝑥 − 1
Paso 1. Reemplazamos el punto límite, lim𝑥→0(𝑒 𝑥 + 𝑥)𝑥 = 1∞ lim 𝑥= 1
𝑥→0

Paso 2. Utilizando la propiedad I),


2 𝑒𝑥−1+𝑥
2 lim 2 𝑒 𝑥+𝑥−1 lim (𝑒𝑥
−1+𝑥) lim 2( )
lim(𝑒 + 𝑥
𝑥 )𝑥 = 𝑒𝑥→0 𝑥 ( )
= 𝑒𝑥→0 𝑥 = 𝑒𝑥→0 𝑥
𝑥→0
=
𝑥
𝑒 −1
lim 2( +1)= 𝑒2(1+1)=𝑒4
𝑒𝑥→0 𝑥




II) Propiedades de límites notables:
1
1. lim𝑥→0(1 𝑥+ 𝑥)𝑥 = 𝑒
𝑎 −1
2. lim𝑥→0 = ln(𝑎) , siempre que 𝑎 > 0, 𝑎 G 1
𝑥
𝑥
3. lim𝑥→0 𝑒 −1
𝑥 =1
4.
𝑎𝑘𝑥 − 1 𝑒𝑘𝑥 − 1
lim = 𝑘𝑙𝑛𝑎 lim =𝑘
𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥