Examen VWO
2013
tijdvak 1
woensdag 22 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1026-a-13-1-o
, OVERZICHT FORMULES
Kansrekening
Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X Y ) E ( X ) E (Y )
Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt:
( X Y ) 2 ( X ) 2 (Y )
n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde
experimenten geldt voor de som S en het gemiddelde X van de
uitkomsten X:
E ( S ) n E ( X ) ( S ) n ( X )
( X )
E( X ) E( X ) ( X )
n
Binomiale verdeling
Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal
experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt:
n
P( X k ) p k (1 p ) nk met k = 0, 1, 2, 3, …, n
k
Verwachting: E ( X ) n p Standaardafwijking: σ( X ) n p (1 p )
Normale verdeling
Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en
standaardafwijking σ geldt:
X g
Z is standaard-normaal verdeeld en P( X g ) P( Z )
Logaritmen
regel voorwaarde
g g
log a log b log ab g g > 0, g 1, a > 0, b > 0
a
g
log a g log b g log g > 0, g 1, a > 0, b > 0
b
g p g
log a p log a g > 0, g 1, a > 0
p
log a
g
log a p
g > 0, g 1, a > 0, p > 0, p 1
log g
VW-1026-a-13-1-o lees verder ►►►
, Lichaamsoppervlak
De buitenkant van je lichaam is je lichaamsoppervlak. Gegevens over
iemands lichaamsoppervlak worden bijvoorbeeld gebruikt voor risico-
analyse bij bestrijdingsmiddelen. De schadelijke stoffen hierin kunnen via
de huid in het lichaam worden opgenomen. In een rapport van het RIVM
(Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu) is een tabel te vinden
waarin onder andere de lichaamsoppervlakte is af te lezen. Een gedeelte
van deze tabel is hieronder weergegeven.
tabel
lichaamsoppervlakte in % van de totale oppervlakte
leeftijd hoofd romp armen en handen benen en voeten
1,5 jaar 16,2 34,0 18,15 31,65
17,5 jaar 8,1 32,1 21,0 38,8
Bij jonge kinderen is het hoofd ten opzichte van de rest van het lichaam
relatief groot. Als kinderen ouder worden, groeien de armen en handen en
de benen en voeten sneller dan de rest van het lichaam.
Het aandeel van armen en handen in de lichaamsoppervlakte is voor
kinderen in de periode van 1,5 jaar tot 17,5 jaar gestegen van 18,15%
naar 21,0%. Ook het aandeel van de benen en voeten is in die 16 jaar
groter geworden.
3p 1 Onderzoek of de relatieve toename van het aandeel van armen en
handen groter is dan de relatieve toename van het aandeel van benen en
voeten.
In het RIVM-rapport vinden we ook gegevens over de lichaamsgewichten
van kinderen. Als kinderen ouder worden, neemt het gemiddelde
lichaamsgewicht toe. Ook de standaardafwijking van het lichaamsgewicht
neemt toe.
Het gemiddelde lichaamsgewicht van kinderen van 12,5 jaar is 44,8 kg.
De 25% lichtste kinderen van 12,5 jaar hebben een lichaamsgewicht van
hoogstens 39,3 kg.
In de rest van deze opgave nemen we aan dat voor iedere leeftijdsgroep
het lichaamsgewicht normaal verdeeld is.
4p 2 Bereken de standaardafwijking van het lichaamsgewicht op 12,5-jarige
leeftijd in één decimaal nauwkeurig.
VW-1026-a-13-1-o lees verder ►►►
, In het rapport zijn de gegevens over de lichaamsgewichten van jongens
en meisjes ook apart vermeld. Bij 4,5-jarigen hebben de jongens een
gemiddeld lichaamsgewicht van 18,7 kg en een standaardafwijking van
3,0 kg. Voor de meisjes geldt een gemiddeld lichaamsgewicht van 18,0 kg
en een standaardafwijking van 3,3 kg.
We bekijken het minimale lichaamsgewicht van de 10% zwaarste meisjes
van 4,5 jaar oud.
3p 3 Toon aan dat het minimale lichaamsgewicht van de 10% zwaarste meisjes
van 4,5 jaar oud ongeveer 22,2 kg is. Geef je antwoord in twee decimalen
nauwkeurig.
Een bepaald percentage van de jongens van 4,5 jaar oud weegt meer dan
22,2 kg.
3p 4 Bereken dit percentage.
Er zijn ook formules waarmee we de lichaamsoppervlakte kunnen
berekenen. Voor het berekenen van de lichaamsoppervlakte bij kinderen
worden vooral de volgende twee formules gebruikt:
S Mosteller 1
3600
LM (formule van Mosteller)
S Haycock 0,024265 L0,3964 M 0,5378 (formule van Haycock)
In deze formules is S de lichaamsoppervlakte in m2, L de lichaamslengte
in cm en M het lichaamsgewicht in kg.
Voor een kind met een lengte van 1 meter (L = 100) blijken de grafieken
van de formules van Mosteller en Haycock bijna samen te vallen. Behalve
bij M = 0 kg is er bij L = 100 nóg een lichaamsgewicht waarbij de formule
van Mosteller en de formule van Haycock precies dezelfde
lichaamsoppervlakte geven.
4p 5 Bereken dat lichaamsgewicht in één decimaal nauwkeurig.
Om de formules nog beter met elkaar te kunnen vergelijken, is het handig
om de formule van Mosteller in dezelfde vorm te schrijven als de formule
van Haycock.
De formule van Mosteller kan geschreven worden in de vorm
SMosteller c L0,5 M 0,5
3p 6 Laat dat zien en bereken de waarde van c.
VW-1026-a-13-1-o lees verder ►►►
2013
tijdvak 1
woensdag 22 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1026-a-13-1-o
, OVERZICHT FORMULES
Kansrekening
Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X Y ) E ( X ) E (Y )
Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt:
( X Y ) 2 ( X ) 2 (Y )
n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde
experimenten geldt voor de som S en het gemiddelde X van de
uitkomsten X:
E ( S ) n E ( X ) ( S ) n ( X )
( X )
E( X ) E( X ) ( X )
n
Binomiale verdeling
Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal
experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt:
n
P( X k ) p k (1 p ) nk met k = 0, 1, 2, 3, …, n
k
Verwachting: E ( X ) n p Standaardafwijking: σ( X ) n p (1 p )
Normale verdeling
Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en
standaardafwijking σ geldt:
X g
Z is standaard-normaal verdeeld en P( X g ) P( Z )
Logaritmen
regel voorwaarde
g g
log a log b log ab g g > 0, g 1, a > 0, b > 0
a
g
log a g log b g log g > 0, g 1, a > 0, b > 0
b
g p g
log a p log a g > 0, g 1, a > 0
p
log a
g
log a p
g > 0, g 1, a > 0, p > 0, p 1
log g
VW-1026-a-13-1-o lees verder ►►►
, Lichaamsoppervlak
De buitenkant van je lichaam is je lichaamsoppervlak. Gegevens over
iemands lichaamsoppervlak worden bijvoorbeeld gebruikt voor risico-
analyse bij bestrijdingsmiddelen. De schadelijke stoffen hierin kunnen via
de huid in het lichaam worden opgenomen. In een rapport van het RIVM
(Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu) is een tabel te vinden
waarin onder andere de lichaamsoppervlakte is af te lezen. Een gedeelte
van deze tabel is hieronder weergegeven.
tabel
lichaamsoppervlakte in % van de totale oppervlakte
leeftijd hoofd romp armen en handen benen en voeten
1,5 jaar 16,2 34,0 18,15 31,65
17,5 jaar 8,1 32,1 21,0 38,8
Bij jonge kinderen is het hoofd ten opzichte van de rest van het lichaam
relatief groot. Als kinderen ouder worden, groeien de armen en handen en
de benen en voeten sneller dan de rest van het lichaam.
Het aandeel van armen en handen in de lichaamsoppervlakte is voor
kinderen in de periode van 1,5 jaar tot 17,5 jaar gestegen van 18,15%
naar 21,0%. Ook het aandeel van de benen en voeten is in die 16 jaar
groter geworden.
3p 1 Onderzoek of de relatieve toename van het aandeel van armen en
handen groter is dan de relatieve toename van het aandeel van benen en
voeten.
In het RIVM-rapport vinden we ook gegevens over de lichaamsgewichten
van kinderen. Als kinderen ouder worden, neemt het gemiddelde
lichaamsgewicht toe. Ook de standaardafwijking van het lichaamsgewicht
neemt toe.
Het gemiddelde lichaamsgewicht van kinderen van 12,5 jaar is 44,8 kg.
De 25% lichtste kinderen van 12,5 jaar hebben een lichaamsgewicht van
hoogstens 39,3 kg.
In de rest van deze opgave nemen we aan dat voor iedere leeftijdsgroep
het lichaamsgewicht normaal verdeeld is.
4p 2 Bereken de standaardafwijking van het lichaamsgewicht op 12,5-jarige
leeftijd in één decimaal nauwkeurig.
VW-1026-a-13-1-o lees verder ►►►
, In het rapport zijn de gegevens over de lichaamsgewichten van jongens
en meisjes ook apart vermeld. Bij 4,5-jarigen hebben de jongens een
gemiddeld lichaamsgewicht van 18,7 kg en een standaardafwijking van
3,0 kg. Voor de meisjes geldt een gemiddeld lichaamsgewicht van 18,0 kg
en een standaardafwijking van 3,3 kg.
We bekijken het minimale lichaamsgewicht van de 10% zwaarste meisjes
van 4,5 jaar oud.
3p 3 Toon aan dat het minimale lichaamsgewicht van de 10% zwaarste meisjes
van 4,5 jaar oud ongeveer 22,2 kg is. Geef je antwoord in twee decimalen
nauwkeurig.
Een bepaald percentage van de jongens van 4,5 jaar oud weegt meer dan
22,2 kg.
3p 4 Bereken dit percentage.
Er zijn ook formules waarmee we de lichaamsoppervlakte kunnen
berekenen. Voor het berekenen van de lichaamsoppervlakte bij kinderen
worden vooral de volgende twee formules gebruikt:
S Mosteller 1
3600
LM (formule van Mosteller)
S Haycock 0,024265 L0,3964 M 0,5378 (formule van Haycock)
In deze formules is S de lichaamsoppervlakte in m2, L de lichaamslengte
in cm en M het lichaamsgewicht in kg.
Voor een kind met een lengte van 1 meter (L = 100) blijken de grafieken
van de formules van Mosteller en Haycock bijna samen te vallen. Behalve
bij M = 0 kg is er bij L = 100 nóg een lichaamsgewicht waarbij de formule
van Mosteller en de formule van Haycock precies dezelfde
lichaamsoppervlakte geven.
4p 5 Bereken dat lichaamsgewicht in één decimaal nauwkeurig.
Om de formules nog beter met elkaar te kunnen vergelijken, is het handig
om de formule van Mosteller in dezelfde vorm te schrijven als de formule
van Haycock.
De formule van Mosteller kan geschreven worden in de vorm
SMosteller c L0,5 M 0,5
3p 6 Laat dat zien en bereken de waarde van c.
VW-1026-a-13-1-o lees verder ►►►
