Examen VWO
2010
tijdvak 1
dinsdag 25 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C
tevens oud programma wiskunde A1
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1026-a-10-1-o
, OVERZICHT FORMULES
Kansrekening
Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y )
Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ( X + Y ) = σ 2 ( X ) + σ 2 (Y )
n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten
geldt voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X:
E (S ) = n ⋅ E ( X ) σ( S ) = n ⋅ σ( X )
σ( X )
E( X ) = E( X ) σ( X ) =
n
Binomiale verdeling
Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal
experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt:
⎛n⎞
P( X = k ) = ⎜ ⎟ ⋅ p k ⋅ (1 − p) n− k met k = 0, 1, 2, 3, …, n
⎝k ⎠
Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Standaardafwijking: σ( X ) = n ⋅ p ⋅ (1 − p )
Normale verdeling
Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en
standaardafwijking σ geldt:
X −μ g −μ
Z= is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < )
σ σ
Logaritmen
regel voorwaarde
g g g g > 0, g ≠ 1, a > 0, b > 0
log a + log b = log ab
g a
log a − g log b = g log g > 0, g ≠ 1, a > 0, b > 0
b
g p g
log a = p ⋅ log a g > 0, g ≠ 1, a > 0
p
g log a
log a = p
g > 0, g ≠ 1, a > 0, p > 0, p ≠ 1
log g
VW-1026-a-10-1-o 2 lees verder ►►►
, Verzekering
Verzekeringsmaatschappijen maken op verschillende manieren reclame voor
allerlei verzekeringen. Een voorbeeld daarvan vind je in figuur 1 hieronder. Daar
zie je een deel van een reclamefolder die in 2004 huis aan huis werd verspreid.
In de folder legt de verzekeraar uit dat de kosten voor een uitvaart sneller stijgen
dan de kosten voor het levensonderhoud. Ook wordt de ontwikkeling van beide
kostensoorten met een grafiek in beeld gebracht.
figuur 1
Enig idee wat een
uitvaart gemiddeld kost?
30000 Al gauw zo’n € 4.700. En
uitvaartkosten stijgen jaarlijks
kosten uitvaart
kosten 25000 gemiddeld met 4,5%. Dit is
in kosten dagelijks leven
anderhalf keer harder dan de
euro 20000
kostenstijging voor het
levensonderhoud*.
15000
Over 40 jaar kost zo’n zelfde
10000
uitvaart dus maar liefst
€ 27.000.
5000 Hoe dekt ú zich daar zo
voordelig mogelijk voor in?
0
2004 2009 2014 2019 2024 2029 2034 2039 2044
*Gebaseerd op historische gegevens
jaar
van CBS en DELA
Uitgaande van een jaarlijkse kostenstijging met 4,5% berekende men de kosten
in 2044. De uitvaartkosten stijgen van € 4700 in 2004 tot ongeveer € 27 000 in
2044.
Het bedrag in 2044 is afgerond op duizendtallen.
3p 1 Bereken dit bedrag in euro’s nauwkeurig.
Met “anderhalf keer harder” bedoelt de schrijver van de folder dat de jaarlijkse
procentuele stijging van de kosten voor een uitvaart 1,5 keer zo groot is als die
van de kosten voor het levensonderhoud. Daardoor zullen de kosten voor het
levensonderhoud in de periode 2004─2044 stijgen met een percentage dat
aanzienlijk kleiner is dan 474% (het stijgingspercentage van de uitvaartkosten).
Dit is in de folder ook grafisch weergegeven.
3p 2 Bereken met hoeveel procent de kosten voor het levensonderhoud volgens de
folder zullen toenemen in de periode 2004─2044.
VW-1026-a-10-1-o 3 lees verder ►►►
, Boomgroei
Naar de groei van bomen is veel onderzoek gedaan. Dat heeft geleid tot een
goed inzicht in het verband tussen de hoogte van een boom en de leeftijd van
die boom. In de bosbouw wordt voor veel bomen de te verwachten hoogte
berekend met de formule van Chapman-Richards:
( )
c
h = a 1 − bt
Hierin is h de hoogte van een boom in meters en t de leeftijd in jaren.
De waarden van de getallen a, b en c hangen af van de soort boom. De getallen
a, b en c zijn positief. In tabel 1 zijn deze waarden voor enkele boomsoorten
weergegeven.
tabel 1
boom a b c
Japanse lariks 23,743 0,9603 1,22770
zomereik 39,143 0,9867 0,96667
Amerikaanse eik 29,026 0,9790 0,80820
berk 43,281 0,9876 0,95040
grove den 24,426 0,9656 1,59980
Het verband tussen de hoogte en de leeftijd van de zomereik wordt dus gegeven
door de formule:
( )
0,96667
h = 39,143 1 − 0,9867t
De zomereik wordt op den duur veel groter dan de Amerikaanse eik, maar in de
eerste levensjaren groeit de Amerikaanse eik veel sneller.
5p 3 Toon door berekening aan dat volgens de formule van Chapman-Richards de
Amerikaanse eik in het vierde levensjaar ruim 20 cm méér groeit dan de
zomereik.
Pas na een groot aantal jaren is de zomereik groter dan de Amerikaanse eik.
3p 4 Bereken na hoeveel jaren dit volgens de formule van Chapman-Richards voor
het eerst het geval is.
Voor de formule voor de zomereik hebben we gebruik gemaakt van de waarden
van a, b en c uit tabel 1. Maar niet alle zomereiken hebben de waarde 39,143
voor a.
Factoren zoals klimaat en bodemgesteldheid beïnvloeden de waarde van a.
Chapman en Richards gaan er in hun model van uit dat de waarden van b en c
uitsluitend afhangen van de boomsoort.
Vaak weet men niet van tevoren welke waarde van a een boom heeft. Om de
waarde van a voor een boom te bepalen, laat men de boom eerst een aantal
jaren groeien.
Daarna meet men de boom op en berekent men welke waarde van a past bij de
groei van die boom. Men gaat ervan uit dat die waarde van a daarna niet meer
verandert.
VW-1026-a-10-1-o 4 lees verder ►►►
2010
tijdvak 1
dinsdag 25 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde C
tevens oud programma wiskunde A1
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1026-a-10-1-o
, OVERZICHT FORMULES
Kansrekening
Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y )
Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ( X + Y ) = σ 2 ( X ) + σ 2 (Y )
n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten
geldt voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X:
E (S ) = n ⋅ E ( X ) σ( S ) = n ⋅ σ( X )
σ( X )
E( X ) = E( X ) σ( X ) =
n
Binomiale verdeling
Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal
experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt:
⎛n⎞
P( X = k ) = ⎜ ⎟ ⋅ p k ⋅ (1 − p) n− k met k = 0, 1, 2, 3, …, n
⎝k ⎠
Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Standaardafwijking: σ( X ) = n ⋅ p ⋅ (1 − p )
Normale verdeling
Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en
standaardafwijking σ geldt:
X −μ g −μ
Z= is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < )
σ σ
Logaritmen
regel voorwaarde
g g g g > 0, g ≠ 1, a > 0, b > 0
log a + log b = log ab
g a
log a − g log b = g log g > 0, g ≠ 1, a > 0, b > 0
b
g p g
log a = p ⋅ log a g > 0, g ≠ 1, a > 0
p
g log a
log a = p
g > 0, g ≠ 1, a > 0, p > 0, p ≠ 1
log g
VW-1026-a-10-1-o 2 lees verder ►►►
, Verzekering
Verzekeringsmaatschappijen maken op verschillende manieren reclame voor
allerlei verzekeringen. Een voorbeeld daarvan vind je in figuur 1 hieronder. Daar
zie je een deel van een reclamefolder die in 2004 huis aan huis werd verspreid.
In de folder legt de verzekeraar uit dat de kosten voor een uitvaart sneller stijgen
dan de kosten voor het levensonderhoud. Ook wordt de ontwikkeling van beide
kostensoorten met een grafiek in beeld gebracht.
figuur 1
Enig idee wat een
uitvaart gemiddeld kost?
30000 Al gauw zo’n € 4.700. En
uitvaartkosten stijgen jaarlijks
kosten uitvaart
kosten 25000 gemiddeld met 4,5%. Dit is
in kosten dagelijks leven
anderhalf keer harder dan de
euro 20000
kostenstijging voor het
levensonderhoud*.
15000
Over 40 jaar kost zo’n zelfde
10000
uitvaart dus maar liefst
€ 27.000.
5000 Hoe dekt ú zich daar zo
voordelig mogelijk voor in?
0
2004 2009 2014 2019 2024 2029 2034 2039 2044
*Gebaseerd op historische gegevens
jaar
van CBS en DELA
Uitgaande van een jaarlijkse kostenstijging met 4,5% berekende men de kosten
in 2044. De uitvaartkosten stijgen van € 4700 in 2004 tot ongeveer € 27 000 in
2044.
Het bedrag in 2044 is afgerond op duizendtallen.
3p 1 Bereken dit bedrag in euro’s nauwkeurig.
Met “anderhalf keer harder” bedoelt de schrijver van de folder dat de jaarlijkse
procentuele stijging van de kosten voor een uitvaart 1,5 keer zo groot is als die
van de kosten voor het levensonderhoud. Daardoor zullen de kosten voor het
levensonderhoud in de periode 2004─2044 stijgen met een percentage dat
aanzienlijk kleiner is dan 474% (het stijgingspercentage van de uitvaartkosten).
Dit is in de folder ook grafisch weergegeven.
3p 2 Bereken met hoeveel procent de kosten voor het levensonderhoud volgens de
folder zullen toenemen in de periode 2004─2044.
VW-1026-a-10-1-o 3 lees verder ►►►
, Boomgroei
Naar de groei van bomen is veel onderzoek gedaan. Dat heeft geleid tot een
goed inzicht in het verband tussen de hoogte van een boom en de leeftijd van
die boom. In de bosbouw wordt voor veel bomen de te verwachten hoogte
berekend met de formule van Chapman-Richards:
( )
c
h = a 1 − bt
Hierin is h de hoogte van een boom in meters en t de leeftijd in jaren.
De waarden van de getallen a, b en c hangen af van de soort boom. De getallen
a, b en c zijn positief. In tabel 1 zijn deze waarden voor enkele boomsoorten
weergegeven.
tabel 1
boom a b c
Japanse lariks 23,743 0,9603 1,22770
zomereik 39,143 0,9867 0,96667
Amerikaanse eik 29,026 0,9790 0,80820
berk 43,281 0,9876 0,95040
grove den 24,426 0,9656 1,59980
Het verband tussen de hoogte en de leeftijd van de zomereik wordt dus gegeven
door de formule:
( )
0,96667
h = 39,143 1 − 0,9867t
De zomereik wordt op den duur veel groter dan de Amerikaanse eik, maar in de
eerste levensjaren groeit de Amerikaanse eik veel sneller.
5p 3 Toon door berekening aan dat volgens de formule van Chapman-Richards de
Amerikaanse eik in het vierde levensjaar ruim 20 cm méér groeit dan de
zomereik.
Pas na een groot aantal jaren is de zomereik groter dan de Amerikaanse eik.
3p 4 Bereken na hoeveel jaren dit volgens de formule van Chapman-Richards voor
het eerst het geval is.
Voor de formule voor de zomereik hebben we gebruik gemaakt van de waarden
van a, b en c uit tabel 1. Maar niet alle zomereiken hebben de waarde 39,143
voor a.
Factoren zoals klimaat en bodemgesteldheid beïnvloeden de waarde van a.
Chapman en Richards gaan er in hun model van uit dat de waarden van b en c
uitsluitend afhangen van de boomsoort.
Vaak weet men niet van tevoren welke waarde van a een boom heeft. Om de
waarde van a voor een boom te bepalen, laat men de boom eerst een aantal
jaren groeien.
Daarna meet men de boom op en berekent men welke waarde van a past bij de
groei van die boom. Men gaat ervan uit dat die waarde van a daarna niet meer
verandert.
VW-1026-a-10-1-o 4 lees verder ►►►
