Examen VWO
2009
tijdvak 1
maandag 25 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A1
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
925-0141-a-VW-1-o
, Emissierechten
Om de uitstoot van kooldioxide (CO 2) onder controle te krijgen verdeelt de
overheid elk jaar zogenoemde emissierechten onder bedrijven die CO 2 uitstoten.
Eén emissierecht betekent dat een bedrijf het recht heeft om in een jaar één
ton CO2 uit te stoten.
In 2005 stootte de Nederlandse industrie 80,4 miljoen ton CO 2 uit. Dat was
8 procent minder dan ze van de overheid aan emissierechten had gekregen.
3p 1 Bereken hoeveel emissierechten de overheid in 2005 had verdeeld onder de
Nederlandse industrie.
Wanneer een bedrijf meer emissierechten heeft dan het aan CO 2 uitstoot, kan
het de overgebleven rechten verkopen aan een bedrijf dat nog emissierechten
nodig heeft. Deze handel in emissierechten vindt plaats op de Amsterdamse
klimaatbeurs ECX.
Aan de hand van een voorbeeld gaan we in de rest van deze opgave na wat de
handel in emissierechten voor een bedrijf kan betekenen.
Het bedrijf Fychem stoot per jaar 100 000 ton CO2 uit en beschikt over slechts
95 000 emissierechten. We onderzoeken de volgende twee mogelijkheden:
− mogelijkheid 1: het bedrijf koopt er 5000 emissierechten bij;
− mogelijkheid 2: het bedrijf neemt maatregelen om de uitstoot tot 90 000 ton
CO2 terug te brengen. Dit kost het bedrijf 60 000 euro. Het bedrijf houdt nu
5000 emissierechten over en verkoopt die op de beurs.
We gaan ervan uit dat de koopprijs en de verkoopprijs van een emissierecht
even groot zijn en noemen dat de prijs van een emissierecht. Afhankelijk van de
prijs van een emissierecht kun je uitrekenen welke van de twee mogelijkheden
het voordeligst is voor Fychem.
Neem aan dat de prijs van een emissierecht gelijk is aan 10 euro.
3p 2 Onderzoek welke mogelijkheid voor Fychem het voordeligst is.
De prijs van een emissierecht op de klimaatbeurs varieert. Bij een andere prijs
dan 10 euro moet opnieuw bekeken worden welke van de twee mogelijkheden
het voordeligst is voor Fychem. Er is een prijs waarbij het voor Fychem niet
uitmaakt welke van de twee genoemde mogelijkheden wordt gekozen.
4p 3 Bereken in dat geval de prijs van een emissierecht.
925-0141-a-VW-1-o 2 lees verder ►►►
, De kosten om de uitstoot van CO 2 te verminderen hangen af van de hoeveelheid
waarmee de uitstoot wordt verminderd. Voor Fychem geldt de volgende formule:
540 x
K ( x) =
100 000 − x
In deze formule stelt K de kosten voor in duizenden euro’s en x het aantal ton
waarmee de CO 2-uitstoot wordt verminderd.
Hoe meer Fychem de uitstoot van CO 2 vermindert, des te meer kosten zal het
bedrijf hiervoor moeten maken.
4p 4 Beredeneer dit aan de hand van de formule voor K zonder getallenvoorbeelden
te geven.
Wanneer Fychem veel investeert in het verminderen van de uitstoot van CO 2,
kan het bedrijf de overtollige emissierechten verkopen op de klimaatbeurs.
Voor de winst die Fychem zo kan behalen geldt de formule:
540 x
W = 0, 001⋅ p ⋅ ( x − 5000) −
100 000 − x
In deze formule is W de winst van Fychem in duizenden euro’s, p de prijs van
een emissierecht in euro’s en x het aantal ton waarmee de CO 2-uitstoot van
Fychem wordt verminderd.
Bij een prijs van een emissierecht van 14 euro kan het verband tussen W en x
540 x
geschreven worden als W = 0, 014 x − 70 − .
100 000 − x
3p 5 Toon aan dat dit het geval is.
In figuur 1 is het verband tussen W en x bij een prijs van een emissierecht van
14 euro grafisch weergegeven.
figuur 1
W
O x
100000
Je ziet dat de grafiek een maximum heeft.
3p 6 Bereken de maximale winst die Fychem bij een prijs van een emissierecht van
14 euro kan maken.
925-0141-a-VW-1-o 3 lees verder ►►►
, Nominaal volume
Veel vloeistoffen worden verhandeld in flessen. De hoeveelheid vloeistof die
volgens het etiket in de fles moet zitten, heet het nominaal volume. Als er
bijvoorbeeld “400 ml ℮” op staat, dan is het nominaal volume 400 ml. Dat
betekent niet dat er dan ook altijd precies 400 ml vloeistof in zit. De werkelijke
hoeveelheid vloeistof in de fles zou bijvoorbeeld 401,8 ml kunnen zijn of
399,6 ml. Als de werkelijke hoeveelheid vloeistof minder is dan het nominaal
volume, dan spreken we van een afwijking in minus. De afwijking in minus mag
niet te groot zijn. Daar zijn Europese richtlijnen voor. In tabel 1 is voor volumes
tussen 50 ml en 1000 ml de maximaal toelaatbare afwijking in minus
weergegeven volgens de Europese richtlijn.
tabel 1
max. toelaatbare afwijking in minus
nominaal volume in ml in % van het in ml
nominaal volume
50 tot 100 - 4,5
100 tot 200 4,5 -
200 tot 300 - 9
300 tot 500 3 -
500 tot 1000 - 15
Aan de hand van tabel 1 kan een grafiek worden gemaakt van het verband
tussen het nominaal volume en de maximaal toelaatbare afwijking in minus. In
figuur 1 is daar al een begin mee gemaakt.
figuur 1
16
maximaal toelaatbare
afwijking in minus 15
in ml 14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
nominaal volume in ml
De grafiek in figuur 1 staat ook op de uitwerkbijlage.
4p 7 Maak de grafiek af op de uitwerkbijlage.
925-0141-a-VW-1-o 4 lees verder ►►►
2009
tijdvak 1
maandag 25 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A1
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
925-0141-a-VW-1-o
, Emissierechten
Om de uitstoot van kooldioxide (CO 2) onder controle te krijgen verdeelt de
overheid elk jaar zogenoemde emissierechten onder bedrijven die CO 2 uitstoten.
Eén emissierecht betekent dat een bedrijf het recht heeft om in een jaar één
ton CO2 uit te stoten.
In 2005 stootte de Nederlandse industrie 80,4 miljoen ton CO 2 uit. Dat was
8 procent minder dan ze van de overheid aan emissierechten had gekregen.
3p 1 Bereken hoeveel emissierechten de overheid in 2005 had verdeeld onder de
Nederlandse industrie.
Wanneer een bedrijf meer emissierechten heeft dan het aan CO 2 uitstoot, kan
het de overgebleven rechten verkopen aan een bedrijf dat nog emissierechten
nodig heeft. Deze handel in emissierechten vindt plaats op de Amsterdamse
klimaatbeurs ECX.
Aan de hand van een voorbeeld gaan we in de rest van deze opgave na wat de
handel in emissierechten voor een bedrijf kan betekenen.
Het bedrijf Fychem stoot per jaar 100 000 ton CO2 uit en beschikt over slechts
95 000 emissierechten. We onderzoeken de volgende twee mogelijkheden:
− mogelijkheid 1: het bedrijf koopt er 5000 emissierechten bij;
− mogelijkheid 2: het bedrijf neemt maatregelen om de uitstoot tot 90 000 ton
CO2 terug te brengen. Dit kost het bedrijf 60 000 euro. Het bedrijf houdt nu
5000 emissierechten over en verkoopt die op de beurs.
We gaan ervan uit dat de koopprijs en de verkoopprijs van een emissierecht
even groot zijn en noemen dat de prijs van een emissierecht. Afhankelijk van de
prijs van een emissierecht kun je uitrekenen welke van de twee mogelijkheden
het voordeligst is voor Fychem.
Neem aan dat de prijs van een emissierecht gelijk is aan 10 euro.
3p 2 Onderzoek welke mogelijkheid voor Fychem het voordeligst is.
De prijs van een emissierecht op de klimaatbeurs varieert. Bij een andere prijs
dan 10 euro moet opnieuw bekeken worden welke van de twee mogelijkheden
het voordeligst is voor Fychem. Er is een prijs waarbij het voor Fychem niet
uitmaakt welke van de twee genoemde mogelijkheden wordt gekozen.
4p 3 Bereken in dat geval de prijs van een emissierecht.
925-0141-a-VW-1-o 2 lees verder ►►►
, De kosten om de uitstoot van CO 2 te verminderen hangen af van de hoeveelheid
waarmee de uitstoot wordt verminderd. Voor Fychem geldt de volgende formule:
540 x
K ( x) =
100 000 − x
In deze formule stelt K de kosten voor in duizenden euro’s en x het aantal ton
waarmee de CO 2-uitstoot wordt verminderd.
Hoe meer Fychem de uitstoot van CO 2 vermindert, des te meer kosten zal het
bedrijf hiervoor moeten maken.
4p 4 Beredeneer dit aan de hand van de formule voor K zonder getallenvoorbeelden
te geven.
Wanneer Fychem veel investeert in het verminderen van de uitstoot van CO 2,
kan het bedrijf de overtollige emissierechten verkopen op de klimaatbeurs.
Voor de winst die Fychem zo kan behalen geldt de formule:
540 x
W = 0, 001⋅ p ⋅ ( x − 5000) −
100 000 − x
In deze formule is W de winst van Fychem in duizenden euro’s, p de prijs van
een emissierecht in euro’s en x het aantal ton waarmee de CO 2-uitstoot van
Fychem wordt verminderd.
Bij een prijs van een emissierecht van 14 euro kan het verband tussen W en x
540 x
geschreven worden als W = 0, 014 x − 70 − .
100 000 − x
3p 5 Toon aan dat dit het geval is.
In figuur 1 is het verband tussen W en x bij een prijs van een emissierecht van
14 euro grafisch weergegeven.
figuur 1
W
O x
100000
Je ziet dat de grafiek een maximum heeft.
3p 6 Bereken de maximale winst die Fychem bij een prijs van een emissierecht van
14 euro kan maken.
925-0141-a-VW-1-o 3 lees verder ►►►
, Nominaal volume
Veel vloeistoffen worden verhandeld in flessen. De hoeveelheid vloeistof die
volgens het etiket in de fles moet zitten, heet het nominaal volume. Als er
bijvoorbeeld “400 ml ℮” op staat, dan is het nominaal volume 400 ml. Dat
betekent niet dat er dan ook altijd precies 400 ml vloeistof in zit. De werkelijke
hoeveelheid vloeistof in de fles zou bijvoorbeeld 401,8 ml kunnen zijn of
399,6 ml. Als de werkelijke hoeveelheid vloeistof minder is dan het nominaal
volume, dan spreken we van een afwijking in minus. De afwijking in minus mag
niet te groot zijn. Daar zijn Europese richtlijnen voor. In tabel 1 is voor volumes
tussen 50 ml en 1000 ml de maximaal toelaatbare afwijking in minus
weergegeven volgens de Europese richtlijn.
tabel 1
max. toelaatbare afwijking in minus
nominaal volume in ml in % van het in ml
nominaal volume
50 tot 100 - 4,5
100 tot 200 4,5 -
200 tot 300 - 9
300 tot 500 3 -
500 tot 1000 - 15
Aan de hand van tabel 1 kan een grafiek worden gemaakt van het verband
tussen het nominaal volume en de maximaal toelaatbare afwijking in minus. In
figuur 1 is daar al een begin mee gemaakt.
figuur 1
16
maximaal toelaatbare
afwijking in minus 15
in ml 14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
nominaal volume in ml
De grafiek in figuur 1 staat ook op de uitwerkbijlage.
4p 7 Maak de grafiek af op de uitwerkbijlage.
925-0141-a-VW-1-o 4 lees verder ►►►
