Examen VWO
2007
tijdvak 1
vrijdag 1 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A1
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
700025-1-014o
, Restzetels
Op 2 maart 1994 vonden er in Nederland gemeenteraadsverkiezingen plaats. In
de gemeente Enschede werden 67 787 stemmen uitgebracht. De
verkiezingsuitslag is weergegeven in tabel 1. In de tweede kolom is af te lezen
hoeveel stemmen elke partij heeft behaald. In de laatste kolom van deze tabel
staat aangegeven hoe, op basis van de verkiezingsuitslag, de zetelverdeling in
de gemeenteraad van Enschede uiteindelijk is geworden.
Het proces om stemmen om te rekenen naar aantallen zetels is ingewikkeld. We
gaan daar verderop in deze opgave nader op in. Eerst kijken we alleen naar het
resultaat van de zetelverdeling.
tabel 1
partij aantal aantal volle aantal zetels in
stemmen zetels de gemeenteraad
1. PvdA 15 329 8 10
2. CDA 12 584 7 8
3. VVD 9080 5 5
4. D66 8751 5 5
5. GroenLinks 5150 2 3
6. GPV 3399 1 2
7. CD 2730 1 1
8. SP 1549 0 1
9. NCPN 589 0 0
10. van Loenen 2955 1 1
11. Enschede Nu 5671 3 3
totaal aantal
uitgebrachte totaal aantal
stemmen: 67 787 zetels: 39
Uit de tabel volgt dat PvdA, VVD en D66 samen een meerderheid kregen van de
zetels in de gemeenteraad. Toch hadden deze drie partijen samen geen
meerderheid van de stemmen.
4p 1 Laat met behulp van de gegevens in de tabel zien dat PvdA, VVD en D66 samen
inderdaad een meerderheid aan zetels maar niet een meerderheid aan stemmen
hebben behaald.
Om te bepalen op hoeveel zetels partijen recht hebben, wordt eerst de
kiesdeler bepaald. De kiesdeler wordt berekend door het totaal aantal
uitgebrachte stemmen te delen door het aantal beschikbare zetels in de
gemeenteraad.
3p 2 Bereken de kiesdeler voor de verkiezingsuitslag van Enschede in 1994. Geef je
antwoord in 3 decimalen nauwkeurig.
Om het aantal zetels te bepalen waar een partij recht op heeft, wordt vervolgens
bij elke partij het aantal op die partij uitgebrachte stemmen gedeeld door de
kiesdeler. Voor bijvoorbeeld de PvdA is de uitkomst hiervan ongeveer 8,82;
700025-1-014o 2 lees verder ►►►
, daarom heeft de PvdA 8 volle zetels. In de derde kolom van tabel 1 staat het
aantal volle zetels van elke partij.
De beschikbare zetels in de gemeenteraad die nog niet zijn verdeeld met de
volle zetels heten de restzetels. Voor de verdeling van de restzetels moet
volgens de kieswet het systeem van de grootste gemiddelden worden
gehanteerd. In de kieswet staat dit systeem als volgt beschreven:
fragment uit de Kieswet
Bij de verdeling van de restzetels volgens het systeem van de grootste
gemiddelden wordt voor elke partij in gedachten één zetel opgeteld bij het
behaalde aantal volle zetels. Vervolgens wordt het aantal op de partij
uitgebrachte stemmen gedeeld door dit denkbeeldige aantal zetels. Op deze
wijze wordt voor elke partij het gemiddelde aantal stemmen per zetel bepaald.
De partij met het grootste gemiddelde krijgt een restzetel toebedeeld.
Aldus ontstaat een nieuwe tussenstand bij de zetelverdeling. Zolang er nog
restzetels te verdelen zijn, wordt de hierboven beschreven procedure herhaald.
Uitgaande van de nieuwe tussenstand wordt dan wederom in gedachten bij elke
partij één zetel opgeteld bij het (in de tussenstand) behaalde aantal zetels.
Wederom wordt de volgende restzetel toebedeeld aan de partij met het grootste
gemiddelde aantal stemmen per zetel.
De systematiek voor de restzetelverdeling kan er toe leiden dat een partij meer
dan één restzetel behaalt.
5p 3 Laat met berekeningen zien dat de eerste restzetel werd toegewezen aan
GroenLinks.
De laatste restzetel werd toebedeeld aan de PvdA. Daaruit kun je concluderen
dat de PvdA bij de verdeling van de laatste restzetel (dus bij de laatste
tussenstand) 9 zetels had en de VVD 5 zetels.
Veronderstel nu eens dat een aantal mensen niet op de PvdA maar op de VVD
gestemd zou hebben. Als dat aantal voldoende groot is, zou de VVD de laatste
restzetel hebben gekregen. Dat kun je in het volgende voorbeeld zien.
Ga eens uit van 100 mensen die in plaats van op de PvdA op de VVD gestemd
zouden hebben. In dat geval had de PvdA maar 15 229 stemmen gekregen in
plaats van 15 329. En de VVD zou dan 9180 stemmen hebben gekregen in
plaats van 9080. Met de restzetelverdeling zou de PvdA komen op een
15 229
gemiddelde aantal stemmen per zetel van ≈ 1523 en de VVD op
10
9180
= 1530 . Omdat 1523 < 1530 zou de VVD dus de laatste restzetel krijgen.
6
Om de laatste restzetel bij de VVD terecht te laten komen, is er een kleiner
aantal dan 100 mensen nodig die op de VVD in plaats van de PvdA zouden
stemmen.
5p 4 Bereken hoe groot dit aantal ten minste moet zijn.
700025-1-014o 3 lees verder ►►►
, Rijexamen
Door het CBR (Centraal Bureau
Rijvaardigheidsbewijzen) worden jaarlijks
ruim 400 000 examens voor een rijbewijs
voor personenauto’s afgenomen. Dit
examen bestaat uit twee delen: een
theorie-examen en een praktijkexamen. Je
moet eerst geslaagd zijn voor het theorie-
examen voordat je mag deelnemen aan
het praktijkexamen.
Vóór 1 oktober 2002 bestond het theorie-examen uit 50 ja/nee-vragen. Een
kandidaat was geslaagd voor het theorie-examen als ten minste
45 ja/nee-vragen goed werden beantwoord.
Hannie Samson wist, tijdens haar theorie-examen, van 41 ja/nee-vragen het
goede antwoord. Door de overige 9 ja/nee-vragen te gokken, had Hannie
Samson toch een kans om te slagen.
5p 5 Bereken deze kans. Geef je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.
Sinds 1 oktober 2002 is het theorie-examen vernieuwd. In het nieuwe theorie-
examen zitten bij de 50 vragen niet alleen ja/nee-vragen maar ook andersoortige
vragen zoals open vragen en/of driekeuzevragen. Ook nu is een kandidaat
geslaagd voor het theorie-examen als ten minste 45 vragen goed worden
beantwoord.
Herman Spiering doet een theorie-examen dat bestaat uit 40 ja/nee-vragen en
7 driekeuzevragen en 3 open vragen. Hij weet alleen het goede antwoord van
36 ja/nee-vragen en 6 driekeuzevragen. De 3 open vragen heeft hij in ieder
geval fout. Van de resterende vragen moet Herman het antwoord gokken.
Herman kan nog slagen voor dit examen. Dan moet hij ten minste drie van de
vier resterende ja/nee-vragen goed gokken of hij moet twee van de vier
resterende ja/nee-vragen én de resterende driekeuzevraag goed gokken.
4p 6 Bereken de kans dat Herman zal slagen voor dit theorie-examen. Geef je
antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.
700025-1-014o 4 lees verder ►►►
2007
tijdvak 1
vrijdag 1 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A1
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
700025-1-014o
, Restzetels
Op 2 maart 1994 vonden er in Nederland gemeenteraadsverkiezingen plaats. In
de gemeente Enschede werden 67 787 stemmen uitgebracht. De
verkiezingsuitslag is weergegeven in tabel 1. In de tweede kolom is af te lezen
hoeveel stemmen elke partij heeft behaald. In de laatste kolom van deze tabel
staat aangegeven hoe, op basis van de verkiezingsuitslag, de zetelverdeling in
de gemeenteraad van Enschede uiteindelijk is geworden.
Het proces om stemmen om te rekenen naar aantallen zetels is ingewikkeld. We
gaan daar verderop in deze opgave nader op in. Eerst kijken we alleen naar het
resultaat van de zetelverdeling.
tabel 1
partij aantal aantal volle aantal zetels in
stemmen zetels de gemeenteraad
1. PvdA 15 329 8 10
2. CDA 12 584 7 8
3. VVD 9080 5 5
4. D66 8751 5 5
5. GroenLinks 5150 2 3
6. GPV 3399 1 2
7. CD 2730 1 1
8. SP 1549 0 1
9. NCPN 589 0 0
10. van Loenen 2955 1 1
11. Enschede Nu 5671 3 3
totaal aantal
uitgebrachte totaal aantal
stemmen: 67 787 zetels: 39
Uit de tabel volgt dat PvdA, VVD en D66 samen een meerderheid kregen van de
zetels in de gemeenteraad. Toch hadden deze drie partijen samen geen
meerderheid van de stemmen.
4p 1 Laat met behulp van de gegevens in de tabel zien dat PvdA, VVD en D66 samen
inderdaad een meerderheid aan zetels maar niet een meerderheid aan stemmen
hebben behaald.
Om te bepalen op hoeveel zetels partijen recht hebben, wordt eerst de
kiesdeler bepaald. De kiesdeler wordt berekend door het totaal aantal
uitgebrachte stemmen te delen door het aantal beschikbare zetels in de
gemeenteraad.
3p 2 Bereken de kiesdeler voor de verkiezingsuitslag van Enschede in 1994. Geef je
antwoord in 3 decimalen nauwkeurig.
Om het aantal zetels te bepalen waar een partij recht op heeft, wordt vervolgens
bij elke partij het aantal op die partij uitgebrachte stemmen gedeeld door de
kiesdeler. Voor bijvoorbeeld de PvdA is de uitkomst hiervan ongeveer 8,82;
700025-1-014o 2 lees verder ►►►
, daarom heeft de PvdA 8 volle zetels. In de derde kolom van tabel 1 staat het
aantal volle zetels van elke partij.
De beschikbare zetels in de gemeenteraad die nog niet zijn verdeeld met de
volle zetels heten de restzetels. Voor de verdeling van de restzetels moet
volgens de kieswet het systeem van de grootste gemiddelden worden
gehanteerd. In de kieswet staat dit systeem als volgt beschreven:
fragment uit de Kieswet
Bij de verdeling van de restzetels volgens het systeem van de grootste
gemiddelden wordt voor elke partij in gedachten één zetel opgeteld bij het
behaalde aantal volle zetels. Vervolgens wordt het aantal op de partij
uitgebrachte stemmen gedeeld door dit denkbeeldige aantal zetels. Op deze
wijze wordt voor elke partij het gemiddelde aantal stemmen per zetel bepaald.
De partij met het grootste gemiddelde krijgt een restzetel toebedeeld.
Aldus ontstaat een nieuwe tussenstand bij de zetelverdeling. Zolang er nog
restzetels te verdelen zijn, wordt de hierboven beschreven procedure herhaald.
Uitgaande van de nieuwe tussenstand wordt dan wederom in gedachten bij elke
partij één zetel opgeteld bij het (in de tussenstand) behaalde aantal zetels.
Wederom wordt de volgende restzetel toebedeeld aan de partij met het grootste
gemiddelde aantal stemmen per zetel.
De systematiek voor de restzetelverdeling kan er toe leiden dat een partij meer
dan één restzetel behaalt.
5p 3 Laat met berekeningen zien dat de eerste restzetel werd toegewezen aan
GroenLinks.
De laatste restzetel werd toebedeeld aan de PvdA. Daaruit kun je concluderen
dat de PvdA bij de verdeling van de laatste restzetel (dus bij de laatste
tussenstand) 9 zetels had en de VVD 5 zetels.
Veronderstel nu eens dat een aantal mensen niet op de PvdA maar op de VVD
gestemd zou hebben. Als dat aantal voldoende groot is, zou de VVD de laatste
restzetel hebben gekregen. Dat kun je in het volgende voorbeeld zien.
Ga eens uit van 100 mensen die in plaats van op de PvdA op de VVD gestemd
zouden hebben. In dat geval had de PvdA maar 15 229 stemmen gekregen in
plaats van 15 329. En de VVD zou dan 9180 stemmen hebben gekregen in
plaats van 9080. Met de restzetelverdeling zou de PvdA komen op een
15 229
gemiddelde aantal stemmen per zetel van ≈ 1523 en de VVD op
10
9180
= 1530 . Omdat 1523 < 1530 zou de VVD dus de laatste restzetel krijgen.
6
Om de laatste restzetel bij de VVD terecht te laten komen, is er een kleiner
aantal dan 100 mensen nodig die op de VVD in plaats van de PvdA zouden
stemmen.
5p 4 Bereken hoe groot dit aantal ten minste moet zijn.
700025-1-014o 3 lees verder ►►►
, Rijexamen
Door het CBR (Centraal Bureau
Rijvaardigheidsbewijzen) worden jaarlijks
ruim 400 000 examens voor een rijbewijs
voor personenauto’s afgenomen. Dit
examen bestaat uit twee delen: een
theorie-examen en een praktijkexamen. Je
moet eerst geslaagd zijn voor het theorie-
examen voordat je mag deelnemen aan
het praktijkexamen.
Vóór 1 oktober 2002 bestond het theorie-examen uit 50 ja/nee-vragen. Een
kandidaat was geslaagd voor het theorie-examen als ten minste
45 ja/nee-vragen goed werden beantwoord.
Hannie Samson wist, tijdens haar theorie-examen, van 41 ja/nee-vragen het
goede antwoord. Door de overige 9 ja/nee-vragen te gokken, had Hannie
Samson toch een kans om te slagen.
5p 5 Bereken deze kans. Geef je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.
Sinds 1 oktober 2002 is het theorie-examen vernieuwd. In het nieuwe theorie-
examen zitten bij de 50 vragen niet alleen ja/nee-vragen maar ook andersoortige
vragen zoals open vragen en/of driekeuzevragen. Ook nu is een kandidaat
geslaagd voor het theorie-examen als ten minste 45 vragen goed worden
beantwoord.
Herman Spiering doet een theorie-examen dat bestaat uit 40 ja/nee-vragen en
7 driekeuzevragen en 3 open vragen. Hij weet alleen het goede antwoord van
36 ja/nee-vragen en 6 driekeuzevragen. De 3 open vragen heeft hij in ieder
geval fout. Van de resterende vragen moet Herman het antwoord gokken.
Herman kan nog slagen voor dit examen. Dan moet hij ten minste drie van de
vier resterende ja/nee-vragen goed gokken of hij moet twee van de vier
resterende ja/nee-vragen én de resterende driekeuzevraag goed gokken.
4p 6 Bereken de kans dat Herman zal slagen voor dit theorie-examen. Geef je
antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.
700025-1-014o 4 lees verder ►►►
