Examen VWO
2014
tijdvak 1
dinsdag 20 mei
13.30 uur - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift
opgenomen.
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1025-a-14-1-o
, Formules
Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken,
afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel,
parabool.
Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ,
ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek,
bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek,
zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek,
gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige
rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.
Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales,
middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen
koorde en raaklijn, koordenvierhoek.
Goniometrie
sin(t u ) sin t cos u cos t sin u sin t sin u 2sin t 2u cos t 2u
sin(t u ) sin t cos u cos t sin u sin t sin u 2sin t 2u cos t 2u
cos(t u ) cos t cos u sin t sin u cos t cos u 2cos t 2u cos t 2u
cos(t u ) cos t cos u sin t sin u cos t cos u 2sin t 2u sin t 2u
VW-1025-a-14-1-o 2 /11 lees verder ►►►
, Bal in de sloot
Een bal met een straal van 11 cm komt in een figuur 1
sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt
van de bal bevindt zich h cm onder het
wateroppervlak.
In figuur 1 zie je een doorsnede van de
situatie. Het deel van de bal onder het
wateroppervlak is daarin grijs gemaakt.
h
Om het rekenwerk te vereenvoudigen, draaien figuur 2
we de figuur een kwartslag. Vervolgens kiezen we y
een assenstelsel zodanig dat de halve cirkel
f
boven de x-as de grafiek is van de functie f met:
f ( x) 22 x x 2 h
x
O
Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.
Het deel van de bal onder het wateroppervlak is op te vatten als een
omwentelingslichaam dat ontstaat bij wenteling van een deel van de
grafiek van f om de x-as.
Voor de inhoud I in cm3 van het deel van de bal onder het wateroppervlak
geldt:
I πh 2 (11 13 h)
4p 1 Bewijs dat deze formule juist is.
De massa van de bal is 425 gram. Uit de natuurkunde is bekend dat de
massa van een drijvende bal even groot is als de massa van het door de
bal weggedrukte water. Neem aan dat 1 cm3 water een massa van 1 gram
heeft.
3p 2 Bereken hoe diep de drijvende bal in het water ligt. Rond je antwoord af
op een geheel aantal millimeters.
VW-1025-a-14-1-o 3 /11 lees verder ►►►
, Boven en onder de lijn door de buigpunten
Voor elke waarde van p met p 0 is een functie f p gegeven waarbij voor
de tweede afgeleide geldt: f p'' ( x) 12( x p )( x p )
Er geldt: f p ( x) x 4 6 p 2 x 2 ax b met a en b constanten.
4p 3 Toon dit aan met primitiveren.
Voor a 8 en b 5 wordt f1 gegeven door f1 ( x) x 4 6 x 2 8 x 5 .
In de figuur zie je de grafiek van f1 . Deze grafiek heeft buigpunten voor
x 1 en x 1 . De lijn door deze buigpunten heeft vergelijking y 8 x .
Deze lijn en de grafiek van f1 begrenzen drie vlakdelen V1 , V2 en V3 die
om en om onder en boven de lijn liggen.
figuur
y
f1
V1
V2
–1 O 1 x
V3
De lijn met vergelijking y 8 x snijdt de grafiek van f1 niet alleen in de
twee buigpunten, maar ook in twee andere punten.
4p 4 Bereken exact de x-coördinaten van de twee andere snijpunten.
De vlakdelen V1 en V3 hebben gelijke oppervlakte, namelijk 3 15 .
4p 5 Bewijs dat de gezamenlijke oppervlakte van V1 en V3 gelijk is aan de
oppervlakte van V2 .
VW-1025-a-14-1-o 4 /11 lees verder ►►►
2014
tijdvak 1
dinsdag 20 mei
13.30 uur - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift
opgenomen.
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1025-a-14-1-o
, Formules
Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken,
afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel,
parabool.
Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ,
ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek,
bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek,
zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek,
gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige
rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.
Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales,
middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen
koorde en raaklijn, koordenvierhoek.
Goniometrie
sin(t u ) sin t cos u cos t sin u sin t sin u 2sin t 2u cos t 2u
sin(t u ) sin t cos u cos t sin u sin t sin u 2sin t 2u cos t 2u
cos(t u ) cos t cos u sin t sin u cos t cos u 2cos t 2u cos t 2u
cos(t u ) cos t cos u sin t sin u cos t cos u 2sin t 2u sin t 2u
VW-1025-a-14-1-o 2 /11 lees verder ►►►
, Bal in de sloot
Een bal met een straal van 11 cm komt in een figuur 1
sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt
van de bal bevindt zich h cm onder het
wateroppervlak.
In figuur 1 zie je een doorsnede van de
situatie. Het deel van de bal onder het
wateroppervlak is daarin grijs gemaakt.
h
Om het rekenwerk te vereenvoudigen, draaien figuur 2
we de figuur een kwartslag. Vervolgens kiezen we y
een assenstelsel zodanig dat de halve cirkel
f
boven de x-as de grafiek is van de functie f met:
f ( x) 22 x x 2 h
x
O
Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.
Het deel van de bal onder het wateroppervlak is op te vatten als een
omwentelingslichaam dat ontstaat bij wenteling van een deel van de
grafiek van f om de x-as.
Voor de inhoud I in cm3 van het deel van de bal onder het wateroppervlak
geldt:
I πh 2 (11 13 h)
4p 1 Bewijs dat deze formule juist is.
De massa van de bal is 425 gram. Uit de natuurkunde is bekend dat de
massa van een drijvende bal even groot is als de massa van het door de
bal weggedrukte water. Neem aan dat 1 cm3 water een massa van 1 gram
heeft.
3p 2 Bereken hoe diep de drijvende bal in het water ligt. Rond je antwoord af
op een geheel aantal millimeters.
VW-1025-a-14-1-o 3 /11 lees verder ►►►
, Boven en onder de lijn door de buigpunten
Voor elke waarde van p met p 0 is een functie f p gegeven waarbij voor
de tweede afgeleide geldt: f p'' ( x) 12( x p )( x p )
Er geldt: f p ( x) x 4 6 p 2 x 2 ax b met a en b constanten.
4p 3 Toon dit aan met primitiveren.
Voor a 8 en b 5 wordt f1 gegeven door f1 ( x) x 4 6 x 2 8 x 5 .
In de figuur zie je de grafiek van f1 . Deze grafiek heeft buigpunten voor
x 1 en x 1 . De lijn door deze buigpunten heeft vergelijking y 8 x .
Deze lijn en de grafiek van f1 begrenzen drie vlakdelen V1 , V2 en V3 die
om en om onder en boven de lijn liggen.
figuur
y
f1
V1
V2
–1 O 1 x
V3
De lijn met vergelijking y 8 x snijdt de grafiek van f1 niet alleen in de
twee buigpunten, maar ook in twee andere punten.
4p 4 Bereken exact de x-coördinaten van de twee andere snijpunten.
De vlakdelen V1 en V3 hebben gelijke oppervlakte, namelijk 3 15 .
4p 5 Bewijs dat de gezamenlijke oppervlakte van V1 en V3 gelijk is aan de
oppervlakte van V2 .
VW-1025-a-14-1-o 4 /11 lees verder ►►►
