Examen VWO
2009
tijdvak 1
dinsdag 2 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B1
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
925-0151-a-VW-1-o
, Over een parabool gespannen
In figuur 1 is de grafiek van de functie f met f ( x) = 3 − x 2 getekend. Tussen
twee punten P en S die even ver van O op de x-as liggen, wordt denkbeeldig
een touwtje gespannen dat over deze parabool heen gaat. Het touwtje wordt zo
gespannen dat het tussen de punten Q(−1, 2) en R(1, 2) precies over de
parabool ligt; tussen P en Q en tussen R en S is het touwtje recht.
PQ en RS zijn raaklijnstukken aan de grafiek van f.
figuur 1
y
3
f
Q 2 R
1
P S
-1 O 1 x
De x-coördinaat van S is 2.
4p 1 Toon dit aan.
5p 2 Bereken de lengte van het touwtje.
In figuur 2 is een vlakdeel grijs gekleurd. Dit vlakdeel wordt ingesloten door de
grafiek van f, het lijnstuk RS en de x-as.
figuur 2
y
3
f
Q 2 R
1
P S
-1 O 1 x
4p 3 Bereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.
925-0151-a-VW-1-o 2 lees verder ►►►
, Wachten op de bus
Bij een evenement worden mensen vanaf een opstapplaats per bus vervoerd
naar de ingang van de evenementenhal. Voortdurend pendelen drie bussen
tussen de opstapplaats en de ingang. De reistijd van een bus (van de
opstapplaats naar de ingang en terug) is gemiddeld 60 minuten.
In figuur 1 is de situatie weergegeven dat na elke 20 minuten een bus vertrekt.
Neem aan dat voor mensen die met de bus mee willen, elk aankomsttijdstip op
de opstapplaats even waarschijnlijk is. Een bezoeker aan het evenement komt
dus met kans 13 in elk van de drie tijdsintervallen tussen de vertrekkende
bussen aan en voor elk van die tijdsintervallen is de te verwachten wachttijd
10 minuten. De verwachtingswaarde van de wachttijd is dus
1 ⋅10 + 1 ⋅10 + 1 ⋅10 = 10 minuten.
3 3 3
In figuur 2 is de situatie weergegeven dat de bussen vertrekken met
tussenpozen van 10, 20 en 30 minuten.
figuur 1 figuur 2
4p 4 Bereken in de situatie van figuur 2 de verwachtingswaarde van de wachttijd voor
een bezoeker aan het evenement.
De reistijd van de bussen is normaal verdeeld met een gemiddelde van
60 minuten. Het kan natuurlijk voorkomen dat een rit wat langer of wat korter
duurt. Men vindt dit acceptabel zo lang niet meer dan 10% van de ritten langer
duurt dan 65 minuten.
4p 5 Bereken de maximale standaardafwijking van de reistijd van een bus waarbij
aan deze eis voldaan is.
Veronderstel dat de reistijden van de bussen onafhankelijk zijn en alle een
standaardafwijking van 3,4 minuten hebben.
We bekijken twee opeenvolgende bussen.
4p 6 Bereken de kans dat de eerste bus meer dan 65 minuten over de rit doet en de
tweede bus minder dan 55 minuten.
Het verschil in reistijd van twee opeenvolgende bussen is normaal verdeeld met
standaardafwijking 4,8 minuten.
4p 7 Bereken de kans dat een bus minstens 8 minuten korter over de rit doet dan zijn
voorganger.
925-0151-a-VW-1-o 3 lees verder ►►►
, Een buiteling
Een lijnstuk PQ met een lengte van π meter buitelt over een halve cirkel
waarvan de straal OE 1 meter is. In figuur 1 zijn de beginstand, twee
tussenstanden en de eindstand getekend. Het punt waarin PQ raakt aan de
halve eenheidscirkel noemen we R. Dus op elk moment staat PQ loodrecht op
OR en is het lijnstuk PR even lang als de cirkelboog ER.
figuur 1
Q P
Q P
R R
P Q
P Q
O E O E O E O E
beginstand: R = P eindstand: R = Q
Het lijnstuk buitelt zó dat R met snelheid 1 m/s over de halve cirkel beweegt. Op
tijdstip 0 begint PQ aan de buiteling; dan is het punt P nog in het punt E. In de
figuur op de uitwerkbijlage is de halve cirkel getekend op schaal 1 : 25.
5p 8 Teken in die figuur het lijnstuk PQ na 2 π seconden. Licht je werkwijze toe.
3
Er wordt een rechthoekig assenstelsel aangebracht zo dat O het punt (0, 0) is en
E het punt (1, 0). Zie figuur 2.
figuur 2
y
Q
R
1
t
t
1 P’ P
t E
-1 O R’ 1 x
925-0151-a-VW-1-o 4 lees verder ►►►
2009
tijdvak 1
dinsdag 2 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B1
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
925-0151-a-VW-1-o
, Over een parabool gespannen
In figuur 1 is de grafiek van de functie f met f ( x) = 3 − x 2 getekend. Tussen
twee punten P en S die even ver van O op de x-as liggen, wordt denkbeeldig
een touwtje gespannen dat over deze parabool heen gaat. Het touwtje wordt zo
gespannen dat het tussen de punten Q(−1, 2) en R(1, 2) precies over de
parabool ligt; tussen P en Q en tussen R en S is het touwtje recht.
PQ en RS zijn raaklijnstukken aan de grafiek van f.
figuur 1
y
3
f
Q 2 R
1
P S
-1 O 1 x
De x-coördinaat van S is 2.
4p 1 Toon dit aan.
5p 2 Bereken de lengte van het touwtje.
In figuur 2 is een vlakdeel grijs gekleurd. Dit vlakdeel wordt ingesloten door de
grafiek van f, het lijnstuk RS en de x-as.
figuur 2
y
3
f
Q 2 R
1
P S
-1 O 1 x
4p 3 Bereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.
925-0151-a-VW-1-o 2 lees verder ►►►
, Wachten op de bus
Bij een evenement worden mensen vanaf een opstapplaats per bus vervoerd
naar de ingang van de evenementenhal. Voortdurend pendelen drie bussen
tussen de opstapplaats en de ingang. De reistijd van een bus (van de
opstapplaats naar de ingang en terug) is gemiddeld 60 minuten.
In figuur 1 is de situatie weergegeven dat na elke 20 minuten een bus vertrekt.
Neem aan dat voor mensen die met de bus mee willen, elk aankomsttijdstip op
de opstapplaats even waarschijnlijk is. Een bezoeker aan het evenement komt
dus met kans 13 in elk van de drie tijdsintervallen tussen de vertrekkende
bussen aan en voor elk van die tijdsintervallen is de te verwachten wachttijd
10 minuten. De verwachtingswaarde van de wachttijd is dus
1 ⋅10 + 1 ⋅10 + 1 ⋅10 = 10 minuten.
3 3 3
In figuur 2 is de situatie weergegeven dat de bussen vertrekken met
tussenpozen van 10, 20 en 30 minuten.
figuur 1 figuur 2
4p 4 Bereken in de situatie van figuur 2 de verwachtingswaarde van de wachttijd voor
een bezoeker aan het evenement.
De reistijd van de bussen is normaal verdeeld met een gemiddelde van
60 minuten. Het kan natuurlijk voorkomen dat een rit wat langer of wat korter
duurt. Men vindt dit acceptabel zo lang niet meer dan 10% van de ritten langer
duurt dan 65 minuten.
4p 5 Bereken de maximale standaardafwijking van de reistijd van een bus waarbij
aan deze eis voldaan is.
Veronderstel dat de reistijden van de bussen onafhankelijk zijn en alle een
standaardafwijking van 3,4 minuten hebben.
We bekijken twee opeenvolgende bussen.
4p 6 Bereken de kans dat de eerste bus meer dan 65 minuten over de rit doet en de
tweede bus minder dan 55 minuten.
Het verschil in reistijd van twee opeenvolgende bussen is normaal verdeeld met
standaardafwijking 4,8 minuten.
4p 7 Bereken de kans dat een bus minstens 8 minuten korter over de rit doet dan zijn
voorganger.
925-0151-a-VW-1-o 3 lees verder ►►►
, Een buiteling
Een lijnstuk PQ met een lengte van π meter buitelt over een halve cirkel
waarvan de straal OE 1 meter is. In figuur 1 zijn de beginstand, twee
tussenstanden en de eindstand getekend. Het punt waarin PQ raakt aan de
halve eenheidscirkel noemen we R. Dus op elk moment staat PQ loodrecht op
OR en is het lijnstuk PR even lang als de cirkelboog ER.
figuur 1
Q P
Q P
R R
P Q
P Q
O E O E O E O E
beginstand: R = P eindstand: R = Q
Het lijnstuk buitelt zó dat R met snelheid 1 m/s over de halve cirkel beweegt. Op
tijdstip 0 begint PQ aan de buiteling; dan is het punt P nog in het punt E. In de
figuur op de uitwerkbijlage is de halve cirkel getekend op schaal 1 : 25.
5p 8 Teken in die figuur het lijnstuk PQ na 2 π seconden. Licht je werkwijze toe.
3
Er wordt een rechthoekig assenstelsel aangebracht zo dat O het punt (0, 0) is en
E het punt (1, 0). Zie figuur 2.
figuur 2
y
Q
R
1
t
t
1 P’ P
t E
-1 O R’ 1 x
925-0151-a-VW-1-o 4 lees verder ►►►
